Exercice 1 — Probabilités conditionnelles et arbres, Loi binomiale

Commun à tous les candidats

Les probabilités demandées dans cet exercice seront arrondies à $10^{-3}$.

Un laboratoire pharmaceutique vient d'élaborer un nouveau test anti-dopage.

Partie A

Une étude sur ce nouveau test donne les résultats suivants:

• si un athlète est dopé, la probabilité que le résultat du test soit positif est $0,98$ (sensibilité du test) ;
• si un athlète n'est pas dopé, la probabilité que le résultat du test soit négatif est $0,995$ (spécificité du test). On fait subir le test à un athlète sélectionné au hasard au sein des participants à une compétition d'athlétisme.

On note $D$ l'évènement « l'athlète est dopé » et $T$ l'évènement « le test est positif ».

On admet que la probabilité de l'évènement $D$ est égale à $0,08$.

• 1. Traduire la situation sous la forme d'un arbre pondéré.

• 2. Démontrer que $P(T) = 0,083$.

• 3.

  • a) Sachant qu'un athlète présente un test positif, quelle est la probabilité qu'il soit dopé ?

  • b) Le laboratoire décide de commercialiser le test si la probabilité de l'évènement « un athlète présentant un test positif est dopé » est supérieure ou égale à $0,95$.

    Le test proposé par le laboratoire sera-t-il commercialisé ? Justifier.

Partie B

Dans une compétition sportive, on admet que la probabilité qu'un athlète contrôlé présente un test positif est $0,103$.

• 1. Dans cette question 1., on suppose que les organisateurs décident de contrôler $5$ athlètes au hasard parmi les athlètes de cette compétition.

  On note $X$ la variable aléatoire égale au nombre d'athlètes présentant un test positif parmi les $5$ athlètes contrôlés.

  • a) Donner la loi suivie par la variable aléatoire $X$. Préciser ses paramètres.

  • b) Calculer l'espérance $E(X)$ et interpréter le résultat dans le contexte de l'exercice.

  • c) Quelle est la probabilité qu'au moins un des 5 athlètes contrôlés présente un test positif ?

• 2. Combien d'athlètes faut-il contrôler au minimum pour que la probabilité de l'évènement « au moins un athlète contrôlé présente un test positif » soit supérieure ou égale à $0,75$ ? Justifier.