Exercice 4 — Fonction exponentielle, Continuité et TVI

(Tableau : voir le sujet PDF.)

Pour chacune des affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse.

On justifiera chaque réponse.

Affirmation 1 : Pour tous réels $a$ et $b$,, $\left(\text{e}^{a+b}\right)^2 = \text{e}^{2a} + \text{e}^{2b}$.

Affirmation 2 : Dans le plan muni d'un repère, la tangente au point A d'abscisse 0 à la courbe représentative de la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = - 2 + (3 - x)\text{e}^x$ admet pour équation réduite $y = 2x + 1$.

Affirmation 3 : $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \left(\text{e}^{2x} - \text{e}^{x} + \dfrac{3}{x}\right) = 0$.

Affirmation 4 : L'équation $1 - x + \text{e}^{-x} = 0$ admet une seule solution appartenant à l'intervalle [0 ; 2].

Affirmation 5 : La fonction $g$ définie sur $\mathbb{R}$ par $g(x) = x^2 - 5x + \text{e}^x$ est convexe.