Exercice 5 — Logarithme népérien

(Tableau : voir le sujet PDF.)

Dans le plan muni d'un repère, on considère ci-dessous la courbe $\mathcal{C}_f$ représentative d'une fonction $f$, deux fois dérivable sur l'intervalle $]0 ;  +\infty[$.

La courbe $\mathcal{C}_f$ admet une tangente horizontale $T$ au point A(1 ; 4).

(Figure : voir le sujet PDF.)

(Figure : voir le sujet PDF.)

• 1. Préciser les valeurs $f(1)$ et $f'(1)$.

On admet que la fonction $f$ est définie pour tout réel $x$ de l'intervalle $]0 ;  +\infty[$ par:

\text{où }\, a \text{ et}\, b \text{ sont deux nombres réels}.$$ - **1.** Démontrer que, pour tout réel $x$ strictement positif, on a : $$f'(x) = \dfrac{b - a - b\, \ln x}{x^2}.$$ - **2.** En déduire les valeurs des réels $a$ et $b$. Dans la suite de l'exercice, on admet que la fonction $f$ est définie pour tout réel $x$ de l'intervalle $]0 ;  +\infty[$ par: $$f(x) = \dfrac{4 + 4\ln x}{x}.$$ - **1.** Déterminer les limites de $f$ en $0$ et en $+\infty$. - **2.** Déterminer le tableau de variations de $f$ sur l'intervalle $]0 ;  +\infty[$. - **3.** Démontrer que, pour tout réel $x$ strictement positif, on a : $$f''(x) = \dfrac{- 4 + 8\ln x}{x^3}.$$ - **4.** Montrer que la courbe $\mathcal{C}_f$ possède un unique point d'inflexion B dont on précisera les coordonnées.