Exercice 2 — Suites et récurrence, Limites de suites

Dans cet exercice, on considère la suite $\left(T_n\right)$ définie par :

$T_0 = 180 \:\text{et, \: pour tout entier naturel} \:n, \: T_{n+1} = 0,955T_n + 0,9$

• 1.

  • a) Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$,: $T_n \geqslant 20$.

  • b) Vérifier que pour tout entier naturel $n$,: $T_{n+1} - T_n = - 0,045\left(T_n - 20\right)$. En déduire le sens de variation de la suite $\left(T_n\right)$.

  • c) Conclure de ce qui précède que la suite $\left(T_n\right)$ est convergente. Justifier.

• 2. Pour tout entier naturel $n$, on pose : $u_n = T_n - 20$.

  • a) Montrer que la suite $\left(u_n\right)$ est une suite géométrique dont on précisera la raison.

  • b) En déduire que pour tout entier naturel $n$, :$T_n = 20 + 160 \times 0,955^n$.

  • c) Calculer la limite de la suite $\left(T_n\right)$.

  • d) Résoudre l'inéquation $T_n \leqslant 120$ d'inconnue $n$ entier naturel.

• 3. Dans cette partie, on s'intéresse à l'évolution de la température au centre d'un gâteau après sa sortie du four.

  On considère qu'à la sortie du four, la température au centre du gâteau est de $180 °$ C et celle de l'air ambiant de $20 °$ C.

  La loi de refroidissement de Newton permet de modéliser la température au centre du gâteau par la suite précédente $\left(T_n\right)$. Plus précisément, $T_n$ représente la température au centre du gâteau, exprimée en degré Celsius, n minutes après sa sortie du four.

  • a) Expliquer pourquoi la limite de la suite $\left(T_n\right)$ déterminée à la question 2. c. était prévisible dans le contexte de l'exercice.

  • b) On considère la fonction Python ci-dessous:

    def temp(x) :
         T = 180
         n = 0
         while T > x :
         T=0.955*T+0.9
         n=n+1
         return n
    

    Donner le résultat obtenu en. exécutant la commande temp(120).

    Interpréter le résultat dans le contexte de l'exercice.