Exercice 4 — Fonction exponentielle, Dérivation et convexité

Pour chacune des affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse. Justifier chaque réponse.

• 1. Affirmation 1 : Pour tout réel $x$ : $1 - \dfrac{1 - \text{e}^x}{1 + \text{e}^x} = \dfrac{2}{1 + \text{e}^{-x}}$.

• 2. On considère la fonction$g$ définie sur $\mathbb{R}$ par $g(x) = \dfrac{\text{e}^x}{\text{e}^x + 1}$.

  **Affirmation 2 : ** L'équation $g(x) = \dfrac12$ admet une unique solution dans $\mathbb{R}$.

• 3. On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = x^2\text{e}^{-x}$ et on note $\mathcal{C}$ sa courbe dans un repère orthonormé.

  **Affirmation 3 : ** L'axe des abscisses est tangent à la courbe $\mathcal{C}$ en un seul point.

• 4. On considère la fonction $h$ définie sur $\mathbb{R}$ par $h(x) = \text{e}^x\left(1 - x^2\right)$.

  Affirmation 4 : Dans le plan muni d'un repère orthonormé, la courbe représentative de la fonction $h$ n'admet pas de point d'inflexion.

• 5. Affirmation 5 : $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \dfrac{\text{e}^x}{\text{e}^x + x} = 0$.

• 6. Affirmation 6 : Pour tout réel $x,\: 1 + \text{e}^{2x} \geqslant 2\text{e}^x$.