Exercice 3 — Orthogonalité et produit scalaire, Distances, projetés, aires et volumes

Dans l'espace muni d'un repère orthonormé $\left(O\,;\,\vec{\imath},\,\vec{\jmath},\,\vec{k}\right)$ d'unité 1 cm, on considère les points suivants :

$\text{J}(2 ; 0 ; 1), \quad \text{K}( 1 ; 2 ; 1)\:\text{et} \quad \text{L}(-2 ; -2 ; -2)$

• 1.

  • a) Montrer que le triangle JKL est rectangle en J.

  • b) Calculer la valeur exacte de l'aire du triangle JKL en cm$^2$.

  • c) Déterminer une valeur approchée au dixième près de l'angle géométrique $\widehat{\text{JKL}}$.

• 2.

  • a) Démontrer que le vecteur $\overrightarrow{n}$ de coordonnées $\begin{pmatrix}6

    3

    -10\end{pmatrix}$ est un vecteur normal au plan (JKL).

  • b) En déduire une équation cartésienne du plan (JKL).

Dans la suite, T désigne le point de coordonnées $(10 ; 9 ; -6)$.

• 1.

  • a) Déterminer une représentation paramétrique de la droite $\Delta$ orthogonale au plan (JKL) et passant par T.

  • b) Déterminer les coordonnées du point H, projeté orthogonal du point T sur le plan (JKL).

  • c) On rappelle que le volume $V$ d'un tétraèdre est donné par la formule :

    $V = \dfrac13 \mathcal{B} \times h\:\: \text{où } \mathcal{B}\:\text{désigne l'aire d'une base et } \: h \: \text{la hauteur correspondante}$

    Calculer la valeur exacte du volume du tétraèdre JKLT en cm$^3$.