Exercice 1 — Probabilités conditionnelles et arbres, Suites et récurrence

Dans une région touristique, une société propose un service de location de vélos pour la journée.

La société dispose de deux points de location distinctes, le point A et le point B. Les vélos peuvent être empruntés et restitués indifféremment dans l'un où l'autre des deux points de location.

On admettra que le nombre total de vélos est constant et que tous les matins, à l'ouverture du service, chaque vélo se trouve au point A ou au point B.

D'après une étude statistique :

• Si un vélo se trouve au point A un matin, la probabilité qu'il se trouve au point A le matin suivant est égale à $0,84$ ;
• Si un vélo se trouve au point B un matin la probabilité qu'il se trouve au point B le matin suivant est égale à $0,76$. À l'ouverture du service le premier matin, la société a disposé la moitié de ses vélos au point A, l'autre moitié au point B.

On considère un vélo de la société pris au hasard.

Pour tout entier naturel non nul $n$, on définit les évènements suivants :

• $A_n$ : « le vélo se trouve au point A le $n$-ième matin »

• $B_n$ : « le vélo se trouve au point B le $n$-ième matin ». Pour tout entier naturel non nul $n$, on note $a_n$ la probabilité de l'évènement $A_n$ et $b_n$ la probabilité de l'évènement $B_n$. Ainsi $a_1 = 0,5$ et $b_1 = 0,5$.

• 1. Recopier et compléter l'arbre pondéré ci-dessous qui modélise la situation pour les deux premiers matins :

  (Figure : voir le sujet PDF.)

• 2.

  • a) Calculer $a_2$.

  • b) Le vélo se trouve au point A le deuxième matin. Calculer la probabilité qu'il se soit trouvé au point B le premier matin. La probabilité sera arrondie au millième.

• 3.

  • a) Recopier et compléter l'arbre pondéré ci-dessous qui modélise la situation pour les $n$-ième et $n + 1$-ième matins.

    (Figure : voir le sujet PDF.)

  • b) Justifier que pour tout entier naturel non nul $n$,: $a_{n+1} = 0,6a_n + 0,24$.

• 4. Montrer par récurrence que, pour tout entier naturel non nul $n$, : $a_n = 0,6 - 0,1 \times 0,6^{n - 1}$.

• 5. Déterminer la limite de la suite $\left(a_n\right)$ et interpréter cette limite dans le contexte de l'exercice.

• 6. Déterminer le plus petit entier naturel $n$ tel que $a_n \geqslant 0,599$ et interpréter le résultat obtenu dans le contexte de l'exercice.