Exercice 2 — Logarithme népérien, Limites de fonctions

Partie A

Soit $p$ la fonction définie sur l'intervalle $[-3 ; 4]$ par :

$p(x) = x^3 - 3x^2 + 5x + 1$

• 1. Déterminer les variations de la fonction $p$ sur l'intervalle $[-3 ; 4]$.
• 2. Justifier que l'équation $p(x) = 0$ admet dans l'intervalle $[-3 ; 4]$ une unique solution qui sera notée $\alpha$.
• 3. Déterminer une valeur approchée du réel $\alpha$ au dixième près.
• 4. Donner le tableau de signes de la fonction $p$ sur l'intervalle $[-3 ; 4]$.

Partie B

Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle $[-3 ; 4]$ par :

$f(x) = \dfrac{\text{e}^x}{1 + x^2}$

On note $\mathcal{C}_f$ sa courbe représentative dans un repère orthogonal.

• 1.

  • a) Déterminer la dérivée de la fonction $f$ sur l'intervalle $[-3 ; 4]$.

  • b) Justifier que la courbe $\mathcal{C}_f$ admet une tangente horizontale au point d'abscisse 1.

• 2. Les concepteurs d'un toboggan utilisent la courbe $\mathcal{C}_f$ comme profil d'un toboggan. Ils estiment que le toboggan assure de bonnes sensations si le profil possède au moins deux points d'inflexion.

  (Figure : voir le sujet PDF.)

  (Figure : voir le sujet PDF.)

  (Figure : voir le sujet PDF.)

  (Figure : voir le sujet PDF.)

  • a) D'après le graphique ci-dessus, le toboggan semble-t-il assurer de bonnes sensations ? Argumenter.

  • b) On admet que la fonction $f''$, dérivée seconde de la fonction $f$, a pour expression pour tout réel $x$ de l'intervalle $[-3 ; 4]$ :

    $f''(x) = \dfrac{p(x)(x - 1)\text{e}^x}{\left(1 + x^2\right)^3}$

    où $p$ est la fonction définie dans la partie A.

    En utilisant l'expression précédente de $f''$, répondre à la question : « le toboggan assure-t-il de bonnes sensations ? ». Justifier.