Exercice 3 — Vecteurs, droites et plans, Orthogonalité et produit scalaire

Une exposition d'art contemporain a lieu dans une salle en forme de pavé droit de largeur 6 m, de longueur 8 m et de hauteur 4 m.

Elle est représentée par le parallélépipède rectangle OBCDEFGH où OB = 6 m, OD = 8 m et OE = 4 m.

On utilise le repère orthonormé $\left(O\,;\,\vec{\imath},\,\vec{\jmath},\,\vec{k}\right)$ tel que $\overrightarrow{\imath} = \dfrac16\overrightarrow{\text{OB}}, \overrightarrow{\jmath} = \dfrac18\overrightarrow{\text{OD}}$ et $\overrightarrow{k} =\dfrac14\overrightarrow{\text{OE}}$.

(Figure : voir le sujet PDF.)

(Figure : voir le sujet PDF.)

Dans ce repère on a, en particulier C(6 ; 8 ; 0), F(6 ; 0 ; 4) et G(6 ; 8 ; 4).

Une des œuvres exposées est un triangle de verre représenté par le triangle ART qui a pour

sommets A(6 ; 0 ; 2), R(6 ; 3 ; 4) et T(3 ; 0 ; 4), Enfin, S est le point de coordonnées $\left(3 ; \dfrac52 ; 0\right)$.

• 1.

  • a) Vérifier que le triangle ART est isocèle en A.

  • b) Calculer le produit scalaire $\overrightarrow{\text{AR}} \cdot \overrightarrow{\text{AT}}$.

  • c) En déduire une valeur approchée à $0,1$ degré près de l'angle $\widehat{\text{RAT}}$.

• 2.

  • a) Justifier que le vecteur $\overrightarrow{n}\begin{pmatrix}2

    -2

    3\end{pmatrix}$ est un vecteur normal au plan (ART).

  • b) En déduire une équation cartésienne du plan (ART).

• 3. Un rayon laser dirigé vers le triangle ART est émis du plancher à partir du point S. On admet que ce rayon est orthogonal au plan (ART).

  • a) Soit $\Delta$ la droite orthogonale au plan (ART) et passant par le point S.

    Justifier que le système ci-dessous est une représentation paramétrique de la droite $\Delta$ :

    x&=&3+2k \\

y&=& \dfrac52 - 2k \ z &=& 3k \end{array}\right.,: \text{avec }:k \in \mathbb{R}.$$

• b) Soit L le point d'intersection de la droite $\Delta$, avec le plan (ART).

  Démontrer que L a pour coordonnées $\left(5 ; \dfrac12 ; 3\right)$.

• 4. L'artiste installe un rail représenté par le segment [DK] ou K est le milieu du segment [EH].

  Sur ce rail, il positionne une source lumineuse laser en un point N du segment [DK] et il oriente ce second rayon laser vers le point S.

  (Figure : voir le sujet PDF.)

  (Figure : voir le sujet PDF.)

  • a) Montrer que, pour tout réel $t$ de l'intervalle [0 ; 1], le point N de coordonnées $(0 ; 8 - 4t ; 4t)$ est un point du segment [DK].

  • b) Calculer les coordonnées exactes du point N tel que les deux rayons laser représentés par les segments [SL] et [SN] soient perpendiculaires.