Exercice 1 — Probabilités conditionnelles et arbres, Loi binomiale

Les données publiées le 1$^{er }$ mars 2023 par le ministère de la transition écologique sur les immatriculations de véhicules particuliers en France en 2022 contiennent les informations suivantes :

• $22,86$ des véhicules étaient des véhicules neufs ;

• $8,08$ des véhicules neufs étaient des hybrides rechargeables;

• $1,27$ des véhicules d'occasion (c'est-à-dire qui ne sont pas neufs) étaient des hybrides rechargeables.

Dans tout l'exercice, les probabilités seront arrondies au dix-millième.

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Dans cette partie, on considère un véhicule particulier immatriculé en France en 2022.

On note :

• $N$ l'évènement « le véhicule est neuf »;

• $R$ l'évènement « le véhicule est hybride rechargeable »;

• $\overline{N}$ et $\overline{R}$ les évènements contraires des évènements contraires de $N$ et $R$.

• 1. Représenter la situation par un arbre pondéré.

• 2. Calculer la probabilité que ce véhicule soit neuf et hybride rechargeable.

• 3. Démontrer que la valeur arrondie au dix-millième de la probabilité que ce véhicule soit hybride rechargeable est 0,0283.

• 4. Calculer la probabilité que ce véhicule soit neuf sachant qu'il est hybride rechargeable.

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Dans cette partie, on choisit $500$ véhicules particuliers hybrides rechargeables immatriculés en France en 2022.

Dans la suite, on admettra que la probabilité qu'un tel véhicule soit neuf est égale à $0,65$.

On assimile le choix de ces 500 véhicules à un tirage aléatoire avec remise.

On appelle $X$ la variable aléatoire représentant le nombre de véhicules neufs parmi les $500$ véhicules choisis.

• 1. On admet que la variable aléatoire $X$ suit une loi binomiale. Préciser la valeur de ses paramètres.
• 2. Déterminer la probabilité qu'exactement $325$ de ces véhicules soient neufs.
• 3. Déterminer la probabilité $p(X \geq 325)$ puis interpréter le résultat dans le contexte de l'exercice.

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On choisit désormais $n$ véhicules particuliers hybrides rechargeables immatriculés en France en 2022, où $n$ désigne un entier naturel strictement positif.

On rappelle que la probabilité qu'un tel véhicule soit neuf est égale à $0,65$.

On assimile le choix de ces $n$ véhicules à un tirage aléatoire avec remise.

• 1. Donner l'expression en fonction de $n$ de la probabilité $p_{n}$ que tous ces véhicules soient d'occasion.

• 2. On note $q_{n}$ la probabilité qu'au moins un de ces véhicules soit neuf. En résolvant une inéquation, déterminer la plus petite valeur de $n$ telle que $q_{n} \geqslant 0,9999$.