Exercice 3 — Suites définies par une fonction (uₙ₊₁ = f(uₙ))

On considère la fonction $g$ définie sur l'intervalle $[0 ; 1]$ par

$g(x) = 2x - x^{2}.$

• 1. Montrer que la fonction $g$ est strictement croissante sur l'intervalle $[0 ; 1]$ et préciser les valeurs de $g(0)$ et de $g(1)$.

On considère la suite $\left(u_{n}\right)$ définie par $\left\{\begin{array}{lcl}u_{0}&=&\dfrac{1}{2} \\ u_{n+1}&=&g\left(u_{n}\right) \end{array}\right.$ pour tout entier naturel $n$.

• 1. Calculer $u_{1}$ et $u_{2}$.

• 2. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$, on a : $0 < u_{n} < u_{n+1}< 1$.

• 3. En déduire que la suite $\left(u_{n}\right)$ est convergente.

• 4. Déterminer la limite $\ell$ de la suite $\left(u_{n}\right)$.

On considère la suite $\left(v_{n}\right)$ définie pour tout entier naturel $n$ par $v_{n}=\ln \left(1 - u_{n}\right)$.

• 1. Démontrer que la suite $\left(v_{n}\right)$ est une suite géométrique de raison 2 et préciser son premier terme.
• 2. En déduire une expression de $v_{n}$ en fonction de $n$.
• 3. En déduire une expression de $u_{n}$ en fonction de $n$ et retrouver la limite déterminée à la question 5.
• 4. Recopier et compléter le script Python ci-dessous afin que celui-ci renvoie le rang $n$ à partir duquel la suite dépasse 0,95.

def seuil():
     n=0
     u=0.5
     while u < 0.95 :
          n=...
          u=...
     return n