Exercice 4 — Calcul intégral (aires, IPP, suites d'intégrales), Dérivation

Soit $a$ un réel strictement positif.

On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle $]0 ; +\infty[$ par

$f(x) = a \ln (x).$

On note $\mathcal{C}$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé.

Soit $x_{0}$ un réel strictement supérieur à 1.

• 1. Déterminer l'abscisse du point d'intersection de la courbe $\mathcal{C}$ et de l'axe des abscisses.
• 2. Vérifier que la fonction $F$ définie par $F(x) =a [x \ln (x) - x]$ est une primitive de la fonction $f$ sur l'intervalle $]0 ; +\infty[$.
• 3. En déduire l'aire du domaine bleuté en fonction de $a$ et de $x_{0}$.

(Figure : voir le sujet PDF.)

(Figure : voir le sujet PDF.)

On note $T$ la tangente à la courbe $\mathcal{C}$ au point $M$ d'abscisse $x_{0}$.

On appelle $A$ le point d'intersection de la tangente $T$ avec l'axe des ordonnées et $B$ le projeté orthogonal de $M$ sur l'axe des ordonnées.

(Figure : voir le sujet PDF.)

(Figure : voir le sujet PDF.)

• 1. Démontrer que la longueur AB est égale à une constante (c'est-à-dire à un nombre qui ne dépend pas de $x_{0}$) que l'on déterminera.

  Le candidat prendra soin d'expliciter sa démarche.