Exercice 2 — Vecteurs, droites et plans, Orthogonalité et produit scalaire

On considère le pavé droit ABCDEFGH tel que AB $= 3$ et AD = AE $= 1$ représenté ci-dessous.

(Figure : voir le sujet PDF.)

(Figure : voir le sujet PDF.)

On considère le point I du segment [AB] tel que $\overrightarrow{\text{AB}}= 3 \overrightarrow{\text{AI}}$ et on appelle $M$ le milieu du segment [CD].

On se place dans le repère orthonormé $\left(\text{A} ;  \overrightarrow{\text{AI}}, \overrightarrow{\text{AD}}, \overrightarrow{\text{AE}}\right)$.

• 1. Sans justifier, donner les coordonnées des points F, H et M.

• 2.

  • a) Montrer que le vecteur $\overrightarrow{n}\begin{pmatrix}2

    6

    3\end{pmatrix}$ est un vecteur normal au plan (HMF).

  • b) En déduire qu'une équation cartésienne du plan (HMF) est :

    $2x + 6y + 3z - 9 = 0.$

  • c) Le plan $\mathcal{P}$ dont une équation cartésienne est $5x + 15y - 3z + 7 = 0$ est-il parallèle au plan (HMF) ? Justifier la réponse.

• 3. Déterminer une représentation paramétrique de la droite (DG).

• 4. On appelle $N$ le point d'intersection de la droite (DG) avec le plan (HMF).

  Déterminer les coordonnées du point N.

• 5. Le point R de coordonnées $\left(3 ; \dfrac{1}{4} ; \dfrac{1}{2}\right)$ est-il le projeté orthogonal du point G sur le plan (HMF) ? Justifier la réponse.