Exercice 3 — Probabilités conditionnelles et arbres, Loi binomiale

Dans cet exercice, les réponses seront arrondies à $10^{-4}$ près.

Durant la saison hivernale, la circulation d'un virus a entraîné la contamination de $2\,\%$ de la population d'un pays. Dans ce pays, $90\,\%$ de la population a été vaccinée contre ce virus. On constate que $62\,\%$ des personnes contaminées avaient été vaccinées.

On interroge au hasard une personne, et on note les évènements suivants :

• $C$ : « la personne a été contaminée » ;
• $V$ : « la personne a été vaccinée ».

Les évènements contraires des évènements $C$ et $V$ sont notés respectivement $\overline{C}$ et $\overline{V}$.

• 1. À partir de l'énoncé, donner, sans calcul, les probabilités $P(C)$, $P(V)$ et la probabilité conditionnelle $P_C(V)$.

• 2.

  • a) Calculer $P(C \cap V)$.
  • b) En déduire $P\left(\overline{C} \cap V\right)$.

• 3. Recopier l'arbre des probabilités et le compléter (voir l'arbre dans le sujet PDF : deux branches $C$ et $\overline{C}$, puis $V$ et $\overline{V}$ sur chacune).

• 4. Calculer $P_V(C)$ et interpréter le résultat dans le contexte de l'exercice.

• 5. Déterminer si les affirmations suivantes sont vraies ou fausses en justifiant votre réponse.

  • a) « Parmi les personnes non contaminées, il y a dix fois plus de personnes vaccinées que de personnes non vaccinées. »
  • b) « Plus de 98 % de la population vaccinée n'a pas été contaminée. »

• 6. On s'intéresse à un échantillon de $20$ personnes choisies au hasard dans la population. La population du pays est assez importante pour qu'on puisse assimiler ce choix à des tirages successifs avec remise. On note $X$ la variable aléatoire qui à chaque tirage associe le nombre de personnes contaminées. On rappelle que, pour une personne choisie au hasard, la probabilité d'être contaminée est $p = 0,02$.

  • a) Quelle est la loi suivie par la variable aléatoire $X$ ? Justifier et donner ses paramètres.
  • b) Calculer, en rappelant la formule, la probabilité que 4 personnes exactement soient contaminées dans ce groupe de 20 personnes.