Exercice 1 — Dérivation et convexité, Étude complète de fonction

On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = x\,\text{e}^{-x} + 2x - 1.$ On admet que la fonction $f$ est deux fois dérivable sur $\mathbb{R}$. On appelle $\mathcal{C}_f$ sa courbe représentative dans un repère orthogonal du plan. On note $f'$ la fonction dérivée de la fonction $f$ et $f''$ la fonction dérivée seconde de $f$, c'est-à-dire la fonction dérivée de la fonction $f'$.

Partie A : étude de la fonction $f$

• 1. Déterminer les limites de la fonction $f$ en $-\infty$ et en $+\infty$.
• 2. Pour tout réel $x$, calculer $f'(x)$.
• 3. Montrer que pour tout réel $x$ : $f''(x) = (x - 2)\,\text{e}^{-x}$
• 4. Étudier la convexité de la fonction $f$.
• 5. Étudier les variations de la fonction $f'$ sur $\mathbb{R}$, puis dresser son tableau de variations en y faisant apparaître la valeur exacte de l'extremum. Les limites de la fonction $f'$ aux bornes de l'intervalle de définition ne sont pas attendues.
• 6. En déduire le signe de la fonction $f'$ sur $\mathbb{R}$, puis justifier que la fonction $f$ est strictement croissante sur $\mathbb{R}$.
• 7. Justifier qu'il existe un unique réel $\alpha$ tel que $f(\alpha) = 0$. Donner un encadrement de $\alpha$, au centième près.
• 8. On considère la droite $\Delta$ d'équation $y = 2x - 1$. Étudier la position relative de la courbe $\mathcal{C}_f$ par rapport à la droite $\Delta$.

Partie B : calcul d'aire

Soit $n$ un entier naturel non nul. On considère l'aire du domaine $D_n$ délimité par la courbe $\mathcal{C}_f$, la droite $\Delta$ et les droites d'équations respectives $x = 1$ et $x = n$. On note $I_n = \int_1^n x\,\text{e}^{-x}\,\text{d}x$

• 1. À l'aide d'une intégration par parties, exprimer $I_n$ en fonction de $n$.

• 2.

  • a) Justifier que l'aire du domaine $D_n$ est $I_n$.
  • b) Calculer la limite de l'aire du domaine $D_n$ quand $n$ tend vers $+\infty$.