Exercice 4 — Suites et récurrence, Limites de suites

L'objectif de cet exercice est d'étudier la suite $\left(u_n\right)$ définie pour tout entier naturel $n$ par : $\begin{cases} u_0 = 0 \\ u_1 = \dfrac{1}{2} \\ u_{n+2} = u_{n+1} - \dfrac{1}{4}u_n \end{cases}$

Partie A : conjecture

• 1. Recopier et compléter le tableau ci-dessous. Aucune justification n'est demandée.

  $n$	0	1	2	3	4	5
  $u_n$	0	$\dfrac{1}{2}$	$\dfrac{1}{2}$

• 2. Conjecturer la limite de la suite $\left(u_n\right)$.

Partie B : étude d'une suite auxiliaire

Soit $\left(w_n\right)$ la suite définie pour tout entier naturel $n$ par : $w_n = u_{n+1} - \dfrac{1}{2}u_n$

• 1. Calculer $w_0$.
• 2. Démontrer que la suite $\left(w_n\right)$ est géométrique de raison $\dfrac{1}{2}$.
• 3. Pour tout entier naturel $n$, exprimer $w_n$ en fonction de $n$.
• 4. Montrer que pour tout entier naturel $n$, on a : $u_{n+1} = \left(\dfrac{1}{2}\right)^{n+1} + \dfrac{1}{2}u_n$
• 5. Démontrer par récurrence que, pour tout $n \in \mathbb{N}$, $u_n = n\left(\dfrac{1}{2}\right)^n$.

Partie C : étude de la suite $\left(u_n\right)$

• 1. Montrer que la suite $\left(u_n\right)$ est décroissante à partir du rang $n = 1$.
• 2. En déduire que la suite $\left(u_n\right)$ est convergente sans chercher à calculer la valeur de la limite.
• 3. On admet que la limite de la suite $\left(u_n\right)$ est solution de l'équation : $\ell = \ell - \dfrac{1}{4}\ell$. Déterminer la limite de la suite $\left(u_n\right)$.