Exercice 2 — Vecteurs, droites et plans, Orthogonalité et produit scalaire

Pour chacune des affirmations suivantes, préciser si elle est vraie ou fausse puis justifier la réponse donnée. Toute réponse non argumentée ne sera pas prise en compte.

$\left(\text{O}\,;\,\vec{\imath},\,\vec{\jmath},\,\vec{k}\right)$ est un repère de l'espace. On considère la droite D qui a pour représentation paramétrique $\begin{cases} x = 3 - t \\ y = -2 + 3t \\ z = 1 + 4t \end{cases},\ t \in \mathbb{R}$ et le plan $P$ qui a pour équation cartésienne : $2x - 3y + z - 6 = 0$.

• 1. Affirmation : La droite $\text{D}'$, qui a pour représentation paramétrique $\begin{cases} x = 2 + 2t \\ y = 4 - 6t \\ z = 9 - 8t \end{cases},\ t \in \mathbb{R},$ est parallèle à la droite D.
• 2. On admet que les points A$(-2\,;\,3\,;\,1)$, B$(1\,;\,3\,;\,-4)$ et C$(6\,;\,3\,;\,9)$ ne sont pas alignés. Affirmation : La droite D est orthogonale au plan défini par les trois points A, B et C.
• 3. Affirmation : La droite D est sécante avec la droite $\Delta$ qui a pour représentation paramétrique : $\begin{cases} x = -4 + 2t' \\ y = 1 - 3t' \\ z = 2 + t' \end{cases},\ t' \in \mathbb{R}$
• 4. Affirmation : Le point F$(-3\,;\,-3\,;\,3)$ est le projeté orthogonal du point E$(-5\,;\,0\,;\,2)$ sur le plan $P$.
• 5. Affirmation : Il existe exactement une valeur du paramètre réel $a$ telle que le plan $P'$ d'équation $-3x + y - a^2 z + 3 = 0$ soit parallèle à la droite D.

Note du rédacteur : « pour certaines questions, il est indispensable que le repère soit orthonormé. »