Exercice 4 — Orthogonalité et produit scalaire, Représentations paramétriques et équations cartésiennes

L'espace est muni d'un repère orthonormé $\left(O\,;\,\vec{\imath},\,\vec{\jmath},\,\vec{k}\right)$.

On considère les trois points A(3 ; 0 ; 0), B(0 ; 2 ; 0) et C(0 ; 0 ; 2).

(Figure : voir le sujet PDF.)

(Figure : voir le sujet PDF.)

L'objectif de cet exercice est de démontrer la propriété suivante :

« Le carré de l'aire du triangle ABC est égal à la somme des carrés des aires des trois autres faces du tétraèdre OABC »,

Partie 1 : Distance du point O au plan (ABC)

• 1. Démontrer que le vecteur $\overrightarrow{n}(2 ; 3 ; 3)$ est normal au plan (ABC).

• 2. Démontrer qu'une équation cartésienne du plan (ABC) est : $2x + 3y + 3z - 6 = 0$.

• 3. Donner une représentation paramétrique de la droite $d$ passant par O et de vecteur directeur $\overrightarrow{n}$.

• 4. On note H le point d'intersection de la droite $d$ et du plan (ABC).

  Déterminer les coordonnées du point H.

• 5. En déduire que la distance du point O au plan (ABC) est égale à $\dfrac{3\sqrt{22}}{11}$

Partie 2 : Démonstration de la propriété

• 1. Démontrer que le volume du tétraèdre OABC est égal à 2.

• 2. En déduire que l'aire du triangle ABC est égale à $\sqrt{22}$.

• 3. Démontrer que pour le tétraèdre OABC, « le carré de l'aire du triangle ABC est égal à la somme des carrés des aires des trois autres faces du tétraèdre ».

  On rappelle que le volume d'un tétraèdre est donné par $V = \dfrac13B \times h$ où $B$ est l'aire d'une base du tétraèdre et $h$ est la hauteur relative à cette base.