Exercice 4 — Suites et récurrence, Limites de suites

(Tableau : voir le sujet PDF.)

Dans cet exercice, on s'intéresse à la croissance du bambou Moso de taille maximale 20 mètres.

Le modèle de croissance de Ludwig von Bertalanffy suppose que la vitesse de croissance pour un tel bambou est proportionnelle à l'écart entre sa taille et la taille maximale.

Partie I : modèle discret

Dans cette partie, on observe un bambou de taille initiale $1$ mètre.

Pour tout entier naturel $n$, on note $u_n$ la taille, en mètre, du bambou $n$ jours après le début de l'observation. On a ainsi $u_0 = 1$.

Le modèle de von Bertalanffy pour la croissance du bambou entre deux jours consécutifs se traduit par l'égalité :

$u_{n+1} = u_n + 0,05\left(20 - u_n\right)\, \text{pour tout entier naturel}\, n.$

• 1. Vérifier que $u_1 = 1,95$.

• 2.

  • a) Montrer que pour tout entier naturel $n$,, $u_{n+1} = 0,95u_n + 1$.

  • b) On pose pour tout entier naturel $n$,, $v_n = 20 - u_n$.

    Démontrer que la suite $\left(v_n\right)$ est une suite géométrique dont on précisera le terme initial $v_0$ et la raison.

  • c) En déduire que, pour tout entier naturel $n$,, $u_n = 20 - 19 \times 0,95^n$.

• 3. Déterminer la limite de la suite $\left(u_n\right)$.

Partie II : modèle continu

Dans cette partie, on souhaite modéliser la taille du même bambou Moso par une fonction donnant sa taille, en mètre, en fonction du temps $t$ exprimé en jour.

D'après le modèle de von Bertalanffy, cette fonction est solution de l'équation différentielle

$(E) y' = 0,05(20 - y)$

où $y$ désigne une fonction de la variable $t$, définie et dérivable sur $[0 ; +\infty[$ et $y'$ désigne sa fonction dérivée.

Soit la fonction $L$ définie sur l'intervalle $[0 ; +\infty[$ par

$L(t) = 20 - 19\text{e}^{-0,05t}.$

• 1. Vérifier que la fonction $L$ est une solution de $(E)$ et qu'on a également $L(0) = 1$.

• 2. On prend cette fonction $L$ comme modèle et on admet que, si on note $L'$ sa fonction dérivée, $L'(t)$ représente la vitesse de croissance du bambou à l'instant $t$.

  • a) Comparer $L'(0)$ et $L'(5)$.

  • b) Calculer la limite de la fonction dérivée $L'$ en $+\infty$.

    Ce résultat est-il en cohérence avec la description du modèle de croissance exposé au début de l'exercice ?