Exercice 3 — Étude complète de fonction, Calcul intégral (aires, IPP, suites d'intégrales)

Partie 1

On considère la fonction $f$ définie sur l'ensemble des nombres réels $\mathbb{R}$ par :

$f(x) = \left(x^2 - 4\right)\text{e}^{-x}.$

On admet que la fonction $f$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et on note $f'$ sa fonction dérivée.

• 1. Déterminer les limites de la fonction $f$ en $-\infty$ et en $+\infty$.
• 2. Justifier que pour tout réel $x,\, f'(x) = \left(-x^2 + 2x + 4\right)\text{e}^{-x}$.
• 3. En déduire les variations de la fonction $f$ sur $\mathbb{R}$.

Partie 2

On considère la suite $(I_n)$ définie pour tout entier naturel $n$ par $I_n = \displaystyle\int_{-2}^0 x^n\text{e}^{-x}\, \text{d}x$.

• 1. Justifier que $I_0 = \text{e}^2 - 1$.

• 2. En utilisant une intégration par partie, démontrer l'égalité :

  $I_{n+1} = (- 2)^{n+1} \text{e}^2 + (n + 1)I_n.$

• 3. En déduire les valeurs exactes de $I_1$ et de $I_2$.

Partie 3

• 1. Déterminer le signe sur $\mathbb{R}$ de la fonction $f$ définie dans la partie 1.

• 2. On a représenté ci-contre la courbe $\mathcal{C}_f$ de la fonction $f$ dans un repère orthonormé $\left(O\,;\,\vec{\imath},\,\vec{\jmath}\right)$.

  Le domaine $D$ du plan hachuré ci-contre est délimité par la courbe $\mathcal{C}_f$, l'axe des abscisses et l'axe des ordonnées.

  Calculer la valeur exacte, en unité d'aire, de l'aire $S$ du domaine $D$.

(Figure : voir le sujet PDF.)

(Figure : voir le sujet PDF.)