Exercice 3 — Combinatoire et dénombrement, Loi binomiale

Le codage « base64 », utilisé en informatique, permet de représenter et de transmettre des messages et d'autres données telles que des images, en utilisant 64 caractères: les 26 lettres majuscules, les 26 lettres minuscules, les chiffres de 0 à 9 et deux autres caractères spéciaux.

Les parties A, B et C sont indépendantes.

Partie A

Dans cette partie, on s'intéresse aux séquences de 4 caractères en base64. Par exemple, « gP3g » est une telle séquence. Dans une séquence, l'ordre est à prendre en compte: les séquences « m5C2 » et « 5C2m » ne sont pas identiques.

• 1. Déterminer le nombre de séquences possibles.

• 2. Déterminer le nombre de séquences si l'on impose que les 4 caractères sont différents deux à deux.

• 3.

  • a) Déterminer le nombre de séquences ne comportant pas de lettre A majuscule

  • b) En déduire le nombre de séquences comportant au moins une lettre A majuscule.

  • c) Déterminer le nombre de séquences comportant exactement une fois la lettre A majuscule.

  • d) Déterminer le nombre de séquences comportant exactement deux fois la lettre A majuscule.

Partie B

On s'intéresse à la transmission d'une séquence de 250 caractères d'un ordinateur à un autre. On suppose que la probabilité qu'un caractère soit mal transmis est égale à 0,01 et que les transmissions des différents caractères sont indépendantes entre elles. On note X la variable aléatoire égale au nombre de caractères mal transmis.

• 1. On admet que la variable aléatoire X suit la loi binomiale. Donner ses paramètres.
• 2. Déterminer la probabilité que tous les caractères soient bien transmis. On donnera l'expression exacte, puis une valeur approchée à $10^{-3}$ près.
• 3. Que pensez-vous de l'affirmation suivante: « La probabilité que plus de 16 caractères soient mal transmis est négligeable » ?

Partie C

On s'intéresse maintenant à la transmission de 4 séquences de 250 caractères.

On note $X_1,\: X_2,\: X_3$: et $X_4$ les variables aléatoires correspondant aux nombres de caractères mal transmis lors de la transmission de chacune des 4 séquences.

On admet que les variables aléatoires $X_1,\: X_2,\: X_3$: et $X_4$ sont indépendantes entre elles et suivent la même loi que la variable aléatoire $X$ définie en partie B.

On note $S = X_1 + X_2 + X_3 + X_4.$

Déterminer, en justifiant, l'espérance et la variance de la variable aléatoire $S$.