Exercice 3 — Combinatoire et dénombrement, Variables aléatoires et sommes

Un sac contient les huit lettres suivantes: A B C D E F G H (2 voyelles et 6 consonnes).

Un jeu consiste à tirer simultanément au hasard deux lettres dans ce sac.

On gagne si le tirage est constitué d'une voyelle et d'une consonne.

• 1. Un joueur extrait simultanément deux lettres du sac.

  • a) Déterminer le nombre de tirages possibles.

  • b) Déterminer la probabilité que le joueur gagne à ce jeu.

Les questions 2 et 3 de cet exercice sont indépendantes.

Pour la suite de l'exercice, on admet que la probabilité que le joueur gagne est égale à $\dfrac{3}{7}$.

• 1. Pour jouer, le joueur doit payer $k$ euros, $k$ désignant un entier naturel non nul.

  Si le joueur gagne, il remporte la somme de $10$ euros, sinon il ne remporte rien.

  On note $G$ la variable aléatoire égale au gain algébrique d'un joueur (c'est-à-dire la somme remportée à laquelle on soustrait la somme payée).

  • a) Déterminer la loi de probabilité de $G$.

  • b) Quelle doit être la valeur maximale de la somme payée au départ pour que le jeu reste favorable au joueur ?

• 2. Dix joueurs font chacun une partie. Les lettres tirées sont remises dans le sac après chaque partie.

  On note $X$ la variable aléatoire égale au nombre de joueurs gagnants.

  • a) Justifier que $X$ suit une loi binomiale et donner ses paramètres.

  • b) Calculer la probabilité, arrondie à $10^{-3}$, qu'il y ait exactement quatre joueurs gagnants.

  • c) Calculer $P(X \geqslant 5)$ en arrondissant à $10^{-3}$. Donner une interprétation du résultat obtenu.

  • d) Déterminer le plus petit entier naturel $n$ tel que $P(X \leqslant n) \geqslant 0,9$.

EXERCICE au choix du candidat 5 points

Le candidat doit traiter UN SEUL des deux exercices A ou B

Il indique sur sa copie l'exercice choisi: exercice A ou exercice B