VARIABLES ALÉATOIRES ET SOMMES

Terminale · Spécialité Mathématiques · Thème : Probabilités & Dénombrement

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Place dans le programme et prérequis

Ce chapitre consolide les notions de variable aléatoire (loi, espérance, variance) et introduit la linéarité de l'espérance et le comportement de la variance pour les sommes de variables aléatoires. Il est le socle théorique de la loi binomiale et prépare le chapitre Bienaymé-Tchebychev et échantillonnage.

Prérequis indispensables :

• Variable aléatoire, loi, espérance, variance (première)
• Probabilités conditionnelles et arbres (chapitre précédent)
• Notion d'indépendance d'événements — s'étend aux variables aléatoires

Chapitre débouchant sur : Loi binomiale (application directe à la somme de $n$ Bernoulli), Bienaymé-Tchebychev et échantillonnage (inégalité utilisant l'espérance et la variance).

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1. Notions clés

1.1 Variable aléatoire

Une variable aléatoire (v.a.) $X$ sur un univers $\Omega$ est une fonction qui associe à chaque issue un nombre réel.

Exemple. On lance un dé équilibré. Si $X$ désigne le résultat, alors $X \in \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$.

1.2 Loi de probabilité

La loi de $X$ est la donnée de tous les couples $(x_i, P(X = x_i))$ pour chaque valeur $x_i$ prise par $X$.

Représentation : tableau à deux lignes.

$x_i$	$x_1$	$x_2$	$\ldots$	$x_n$
$P(X = x_i)$	$p_1$	$p_2$	$\ldots$	$p_n$

Contrainte : $\displaystyle\sum_{i=1}^{n} p_i = 1$.

1.3 Espérance, variance, écart-type

Espérance de $X$ — « valeur moyenne » de $X$ : $E(X) = \sum_{i=1}^{n} x_i \times P(X = x_i)$

Variance de $X$ — « dispersion » de $X$ autour de l'espérance : $V(X) = E\big((X - E(X))^2\big) = \sum_{i=1}^{n} (x_i - E(X))^2 \times P(X = x_i)$

Formule alternative (Kœnig-Huygens) — beaucoup plus rapide en pratique : $V(X) = E(X^2) - \big(E(X)\big)^2$

Écart-type de $X$ — dans l'unité de $X$ : $\sigma(X) = \sqrt{V(X)}$

1.4 Somme de variables aléatoires

Si $X$ et $Y$ sont deux v.a. sur un même univers, on peut définir la v.a. $X + Y$ qui, à chaque issue $\omega$, associe $X(\omega) + Y(\omega)$.

Exemple. On lance deux dés. Si $X$ et $Y$ sont les résultats respectifs, $X + Y$ est la somme des deux dés.

1.5 Indépendance de variables aléatoires

Deux v.a. $X$ et $Y$ sont indépendantes si pour toutes valeurs $x$ et $y$ : $P(X = x \text{ et } Y = y) = P(X = x) \times P(Y = y)$

Interprétation : la valeur prise par $X$ n'influence pas celle prise par $Y$, et réciproquement.

Exemple : deux lancers successifs d'un dé donnent deux v.a. indépendantes.

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2. Formulaire — théorèmes et propriétés

T1 — Espérance

$E(X) = \sum_{i=1}^{n} x_i \times P(X = x_i)$

T2 — Variance

$V(X) = \sum_{i=1}^{n} (x_i - E(X))^2 \times P(X = x_i) = E(X^2) - E(X)^2$

T3 — Écart-type

$\sigma(X) = \sqrt{V(X)}$

T4 — Transformation affine ${\color{#0070C0}{a}}X + {\color{#00B050}{b}}$

Pour tous réels ${\color{#0070C0}{a}}, {\color{#00B050}{b}}$ :

$E({\color{#0070C0}{a}}X + {\color{#00B050}{b}}) = {\color{#0070C0}{a}}\,E(X) + {\color{#00B050}{b}}$

$V({\color{#0070C0}{a}}X + {\color{#00B050}{b}}) = {\color{#0070C0}{a}}^{\,2}\,V(X)$

$\sigma({\color{#0070C0}{a}}X + {\color{#00B050}{b}}) = |{\color{#0070C0}{a}}|\,\sigma(X)$

⚠ Attention au carré ${\color{#0070C0}{a}}^2$ dans la variance : erreur numéro un.

Interprétation : ajouter une constante ${\color{#00B050}{b}}$ ne modifie pas la dispersion (variance) ; multiplier par ${\color{#0070C0}{a}}$ multiplie les écarts par $|{\color{#0070C0}{a}}|$, donc la variance par ${\color{#0070C0}{a}}^2$.

T5 — Linéarité de l'espérance (toujours vraie)

Pour toutes v.a. $X$ et $Y$ (indépendantes ou non !) : $E(X + Y) = E(X) + E(Y)$

Plus généralement, pour $n$ v.a. $X_1, \ldots, X_n$ : $E(X_1 + X_2 + \cdots + X_n) = E(X_1) + E(X_2) + \cdots + E(X_n)$

📌 Retenir : la linéarité de l'espérance est toujours vraie, indépendamment de l'indépendance.

T6 — Variance d'une somme — cas indépendant

Si $X$ et $Y$ sont indépendantes : $V(X + Y) = V(X) + V(Y)$

Plus généralement, pour $n$ v.a. deux à deux indépendantes $X_1, \ldots, X_n$ : $V(X_1 + X_2 + \cdots + X_n) = V(X_1) + V(X_2) + \cdots + V(X_n)$

⚠ La variance d'une somme n'est pas égale à la somme des variances en général — cette propriété exige l'indépendance.

T7 — Cas particulier : loi binomiale = somme de Bernoulli

Si $X_1, X_2, \ldots, X_n$ sont indépendantes et de même loi de Bernoulli de paramètre $p$ (chacune vaut $1$ avec proba $p$ et $0$ avec proba $1-p$), alors : $X = X_1 + X_2 + \cdots + X_n$ suit la loi binomiale $\mathcal{B}(n\,;p)$.

Conséquence — retrouver les formules de la binomiale :

• $E(X_i) = p$ (Bernoulli) → $E(X) = np$ par linéarité.
• $V(X_i) = p(1-p)$ (Bernoulli) → $V(X) = np(1-p)$ par variance d'une somme indépendante.

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3. Méthodes types au bac

M1 — Déterminer la loi de probabilité d'une variable aléatoire

Démarche.

1. Identifier les valeurs possibles $x_1, x_2, \ldots, x_n$ prises par $X$.
2. Pour chaque valeur $x_i$, calculer $P(X = x_i)$ (souvent via un arbre ou un dénombrement).
3. Rédiger le tableau de la loi.
4. Vérification : la somme des probabilités doit valoir $1$.

Exemple. Une urne contient 3 boules noires et 2 boules blanches. On tire 2 boules successivement avec remise. Soit $X$ le nombre de boules noires tirées.

Valeurs possibles : $X \in \{0, 1, 2\}$.

$P(X = 0) = 0{,}4 \times 0{,}4 = 0{,}16$.

$P(X = 1) = 2 \times 0{,}6 \times 0{,}4 = 0{,}48$ (facteur 2 pour les deux ordres possibles).

$P(X = 2) = 0{,}6 \times 0{,}6 = 0{,}36$.

Vérification : $0{,}16 + 0{,}48 + 0{,}36 = 1$. ✓

Où c'est tombé : systématique dans les exercices de proba avec v.a. discrète non-binomiale.

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M2 — Calculer $E(X)$, $V(X)$, $\sigma(X)$ à partir de la loi

Démarche.

1. Espérance : $E(X) = \sum x_i \times p_i$.
2. Variance : calcul via $V(X) = E(X^2) - E(X)^2$ (Kœnig-Huygens, plus rapide).
3. Écart-type : $\sigma(X) = \sqrt{V(X)}$.

Exemple (suite). $E(X) = 0 \times 0{,}16 + 1 \times 0{,}48 + 2 \times 0{,}36 = 0{,}48 + 0{,}72 = 1{,}2$.

$E(X^2) = 0 \times 0{,}16 + 1 \times 0{,}48 + 4 \times 0{,}36 = 0{,}48 + 1{,}44 = 1{,}92$.

$V(X) = 1{,}92 - (1{,}2)^2 = 1{,}92 - 1{,}44 = 0{,}48$.

$\sigma(X) = \sqrt{0{,}48} \approx 0{,}693$.

Vérification : on retrouve les valeurs binomiales $E = np = 2 \times 0{,}6 = 1{,}2$ et $V = np(1-p) = 2 \times 0{,}6 \times 0{,}4 = 0{,}48$. ✓ (Car ici $X \sim \mathcal{B}(2\,;0{,}6)$.)

Où c'est tombé : systématique après avoir donné la loi. Métropole 2021 à 2024, Polynésie, Amérique du Nord.

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M3 — Utiliser la linéarité $E(aX + b)$ et le carré $V(aX + b)$

Type d'énoncé : « $X$ est une v.a. avec $E(X) = 4$ et $V(X) = 3$. On pose $Y = 2X - 5$. Calculer $E(Y)$ et $V(Y)$. »

Démarche.

$E(Y) = E(2X - 5) = 2\,E(X) - 5 = 2 \times 4 - 5 = 3$.

$V(Y) = V(2X - 5) = 2^2 \times V(X) = 4 \times 3 = 12$.

$\sigma(Y) = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}$.

⚠ Vérifier le carré : $V(2X - 5) = 4\,V(X)$, pas $2\,V(X)$.

Où c'est tombé : en QCM régulier. Métropole 2022, Polynésie 2023, Antilles 2024.

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M4 — Somme de variables indépendantes

Type d'énoncé : « Soient $X_1, X_2, X_3$ trois v.a. indépendantes de même loi avec $E(X_i) = 5$ et $V(X_i) = 2$. On pose $S = X_1 + X_2 + X_3$. Calculer $E(S)$ et $V(S)$. »

Démarche.

$E(S) = E(X_1) + E(X_2) + E(X_3) = 5 + 5 + 5 = 15$ (linéarité, toujours vraie).

$V(S) = V(X_1) + V(X_2) + V(X_3) = 2 + 2 + 2 = 6$ (indépendance, donc variance additive).

$\sigma(S) = \sqrt{6}$.

Cas particulier — moyenne $\overline{X} = \dfrac{X_1 + \cdots + X_n}{n}$ :

$E(\overline{X}) = \dfrac{n\,E(X_1)}{n} = E(X_1)$ (l'espérance ne change pas).

$V(\overline{X}) = \dfrac{n\,V(X_1)}{n^2} = \dfrac{V(X_1)}{n}$ (la variance diminue d'un facteur $n$).

$\sigma(\overline{X}) = \dfrac{\sigma(X_1)}{\sqrt{n}}$.

Interprétation : la moyenne d'un grand nombre d'observations « se resserre » autour de l'espérance à mesure que $n$ croît — pilier de la loi des grands nombres.

Où c'est tombé : Métropole 2022, sept. 2023, Polynésie 2024, Amérique du Nord 2024.

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M5 — Espérance de gain, jeu équitable

Contexte. Dans un jeu, on définit une v.a. $X$ = gain du joueur (positif s'il gagne, négatif s'il paie).

Définitions.

• Le jeu est favorable au joueur si $E(X) > 0$.
• Le jeu est équitable si $E(X) = 0$.
• Le jeu est défavorable au joueur si $E(X) < 0$.

Type d'énoncé : « Trouver la mise $m$ pour que le jeu soit équitable. »

Démarche. Écrire $E(X)$ en fonction de $m$, poser $E(X) = 0$, résoudre.

Où c'est tombé : Métropole 2022, Polynésie 2023, Amérique du Sud 2024.

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M6 — Retrouver la loi binomiale comme somme de Bernoulli

Contexte. L'énoncé introduit $n$ v.a. indépendantes $X_1, \ldots, X_n$ de Bernoulli de même paramètre $p$. On pose $X = X_1 + \cdots + X_n$.

Démarche.

1. Identifier que chaque $X_i$ suit $\mathcal{B}(1\,;p)$ (Bernoulli).
2. Comme les $X_i$ sont indépendantes et de même loi, $X = X_1 + \cdots + X_n$ suit $\mathcal{B}(n\,;p)$.
3. En déduire $E(X) = np$ et $V(X) = np(1-p)$ par linéarité et variance additive.

Où c'est tombé : cadre théorique fréquent dans les exercices reliant somme et loi binomiale.

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4. Analyse fréquentielle

• Les variables aléatoires, leur espérance et leur variance, apparaissent dans plus de 90 % des sujets de bac spécialité maths.
• Format le plus fréquent — après avoir déterminé la loi de $X$ :
  1. Calculer $E(X)$ (M2).
  2. Calculer $V(X)$ ou $\sigma(X)$ (M2).
  3. Interpréter le résultat (jeu équitable, gain moyen, etc.).
• Somme de variables indépendantes (M4) : en question intermédiaire ou en QCM — Métropole 2022, Polynésie 2023.
• Loi binomiale = somme de $n$ Bernoulli (M6) : rare comme question explicite, mais concept sous-jacent à tous les exercices avec binomiale.
• Transformation affine $aX + b$ (M3) : en QCM régulier, souvent avec le piège du carré.
• Jeu équitable (M5) : environ 1 sujet sur 4.

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5. Erreurs fréquentes

1. Oublier le carré dans $V(aX + b) = a^2\,V(X)$ : erreur numéro un — la variance implique un carré.
2. Additionner les variances sans indépendance : la variance d'une somme n'est additive que si les v.a. sont indépendantes.
3. Écrire $\sigma(X + Y) = \sigma(X) + \sigma(Y)$ : faux. L'écart-type n'est pas additif — c'est la variance qui l'est (sous indépendance).
4. Utiliser Kœnig-Huygens sans mettre $E(X)$ au carré : $V(X) = E(X^2) - \big(E(X)\big)^2$, avec les parenthèses.
5. Confondre $E(X^2)$ et $\big(E(X)\big)^2$ : $E(X^2) = \sum x_i^2 \, p_i$ ; $\big(E(X)\big)^2$ = espérance élevée au carré.
6. Somme des probabilités $\ne 1$ dans la loi : signal d'erreur.
7. Oublier une valeur possible de $X$ (typiquement $x = 0$ ou une valeur extrême).
8. Confondre indépendance et absence de corrélation : deux notions distinctes (l'indépendance implique la non-corrélation, pas la réciproque en général — hors programme mais bon à savoir).
9. Écrire $E(XY) = E(X)E(Y)$ sans indépendance : cette propriété exige l'indépendance des v.a.
10. Confondre $E(X)$ et « valeur la plus fréquente » : l'espérance est une moyenne pondérée, pas nécessairement une valeur atteinte par $X$.

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6. Formulaire à retenir

Objet	Formule
Espérance	$E(X) = \sum x_i\,P(X = x_i)$
Variance	$V(X) = E(X^2) - \big(E(X)\big)^2$
Écart-type	$\sigma(X) = \sqrt{V(X)}$
Affine — espérance	$E(aX + b) = a\,E(X) + b$
Affine — variance	$V(aX + b) = a^2\,V(X)$
Affine — écart-type	$\sigma(aX + b) =
Linéarité $E$ (toujours)	$E(X + Y) = E(X) + E(Y)$
Variance $V$ (si indépendance)	$V(X + Y) = V(X) + V(Y)$
Bernoulli $\mathcal{B}(p)$	$E = p$, $V = p(1-p)$
Binomiale $\mathcal{B}(n\,;p)$	$E = np$, $V = np(1-p)$
Moyenne $\overline{X}$	$E(\overline{X}) = E(X)$, $V(\overline{X}) = V(X)/n$

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7. Annales à consulter sur vecteurmaths.fr

Transformation affine $E(aX+b)$, $V(aX+b)$ en QCM (M3) :

• Métropole — 2022 J1 ex. 2 · 2022 J1 ex. 3 · 2022 J2 ex. 1

Somme de variables indépendantes (M4) :

• Métropole — 2024 J1 ex. 2 · 2024 J1 ex. 4 · 2024 J2 ex. 1

Espérance de gain / jeu équitable (M5) :

• Métropole — 2022 J1 ex. 2 · 2022 J1 ex. 3 · 2022 J2 ex. 1
• Centres Étrangers — 2024 J2 ex. 1