Exercice 1 — Suites et récurrence, Limites de suites

Partie A

On considère la suite $\left(u_n\right)_{n\in \mathbb{N}}$ définie par $u_0 = 400$ et pour tout entier naturel $n$ :

$u_{n+1} = 0,9u_n + 60.$

• 1.

  • a) Calculer $u_1$ et $u_2$.

  • b) Conjecturer le sens de variation de la suite $\left(u_n\right)_{n\in \mathbb{N}}$

• 2. Montrer, par récurrence, que pour tout entier naturel $n$, on a l'inégalité

  $0 \leqslant u_n \leqslant u_{n+1} \leqslant 600.$

• 3.

  • a) Montrer que la suite $\left(u_n\right)_{n\in \mathbb{N}}$ est convergente.

  • b) Déterminer la limite de la suite $\left(u_n\right)_{n\in \mathbb{N}}$. Justifier.

• 4. On donne une fonction écrite en langage Python :

  def mystere(seuil):
       n=0
       u=400
       while u <= seuil :
            n = n+1
            u = 0.9*u+60
       return n
  

  Quelle valeur obtient-on en tapant dans la console de Python: mystere (500) ?

Partie B

Un arboriculteur possède un verger dans lequel il a la place de cultiver au maximum $500$ arbres.

Chaque année il vend 10 % des arbres de son verger et puis il replante $60$ nouveaux arbres.

Le verger compte $400$ arbres en 2023.

L'arboriculteur pense qu'il pourra continuer à vendre et à planter les arbres au même rythme pendant les années à venir.

Va-t-il être confronté à un problème de place dans son verger ? Expliquer votre réponse.