Exercice 2 — Vecteurs, droites et plans, Orthogonalité et produit scalaire

On considère le cube ABCDEFGH qui est représenté en ANNEXE.

Dans le repère orthonormé $\left(\text{A} ; \overrightarrow{\text{AB}} ; \overrightarrow{\text{AD}} ; \overrightarrow{\text{AE}}\right)$, on considère les points M, N et P de coordonnées : M$\left(1 ; 1 ; \dfrac34\right)$, N$\left(0 ; \dfrac12 ; 1\right)$, P$\left(1 ; 0 ; -\dfrac54\right)$

Dans cet exercice, on se propose de calculer le volume du tétraèdre FMNP.

• 1. Donner les coordonnées des vecteurs $\overrightarrow{\text{MN}}$ et $\overrightarrow{\text{MP}}$.

• 2. Placer les points M, N et P sur la figure donnée en ANNEXE qui sera à rendre avec la copie.

• 3. Justifier que les points M, N et P ne sont pas alignés.

  Dès lors les trois points définissent le plan (MNP).

• 4.

  • a) Calculer le produit scalaire $\overrightarrow{\text{MN}} \cdot \overrightarrow{\text{MP}}$, puis en déduire la nature du triangle MNP.

  • b) Calculer l'aire du triangle MNP.

• 5.

  • a) Montrer que le vecteur $\overrightarrow{n}(5 ; -8 ; 4)$ est un vecteur normal au plan (MNP).

  • b) En déduire qu'une équation cartésienne du plan (MNP) est $5x - 8y + 4z = 0$.

• 6. On rappelle que le point F a pour coordonnées F(1 ; 0 ; 1).

  Déterminer une représentation paramétrique de la droite $d$ orthogonale au plan (MNP) et passant par le point F.

• 7. On note L le projeté orthogonal du point F sur le plan (MNP).

  Montrer que les coordonnées du point L sont: L$\left(\dfrac47 ; \dfrac{24}{35} ; \dfrac{23}{35}\right)$.

• 8. Montrer que FL $= \dfrac{3\sqrt{105}}{35}$ puis calculer le volume du tétraèdre FMNP.

  On rappelle que le volume V d'un tétraèdre est donné par la formule :

  $V = \dfrac13 \times \text{aire d'une base} \times \text{hauteur associée à cette base}$.