Exercice 3 — Logarithme népérien, Dérivation

Soit $k$ un réel strictement positif.

Le but de cet exercice est de déterminer le nombre de solutions de l'équation

$\ln (x) = kx$

de paramètre $k$.

• 1. Conjectures graphiques :

  On a représenté, ci-dessous, dans un repère orthogonal, la courbe d'équation $y = \ln (x)$, la droite d'équation $y = x$ ainsi que la droite d'équation $y = 0,2x$ :

  (Figure : voir le sujet PDF.)

  (Figure : voir le sujet PDF.)

  À partir du graphique ci-dessus, conjecturer le nombre de solutions de l'équation $\ln (x) = kx$ pour $k = 1$ puis pour $k = 0,2$.

• 2. Étude du cas $k = 1$ :

  On considère la fonction $f$, définie et dérivable sur $]0 ; +\infty[$, par:

  $f(x) = \ln (x) - x.$

  On note $f'$ la fonction dérivée de la fonction $f$.

  • a) Calculer $f'(x)$.

  • b) Étudier le sens de variation de la fonction $f$ sur $]0 ; +\infty[$.

    Dresser le tableau des variations de la fonction $f$ en y faisant figurer la valeur exacte des extremums s'il y en a.

    Les limites aux bornes de l'intervalle de définition ne sont pas attendues.

  • c) En déduire le nombre de solutions de l'équation $\ln (x) = x$.

• 3. Étude du cas général :

  $k$ est un nombre réel strictement positif.

  On considère la fonction $g$ définie sur $]0 ; +\infty[$ par:

  $g(x) = \ln (x) - kx.$

  On admet que le tableau des variations de la fonction $g$ est le suivant :

  (Figure : voir le sujet PDF.)

  (Figure : voir le sujet PDF.)

  • a) Donner, en fonction du signe de $g\left(\dfrac 1k\right)$ le nombre de solutions de l'équation $g(x) = 0$.

  • b) Calculer $g\left(\dfrac 1k\right)$ en fonction du réel $k$.

  • c) Montrer que $g\left(\dfrac 1k\right) > 0$ équivaut à $\ln (k) < - 1$.

  • d) Déterminer l'ensemble des valeurs de $k$ pour lesquelles l'équation $\ln (x) = kx$ possède exactement deux solutions.

  • e) Donner, selon les valeurs de $k$, le nombre de solutions de l'équation $\ln (x) = kx$.