Exercice 3 — Suites et récurrence, Limites de suites

*Marie Sklodowska-Curie ($1867-1934$) est une physicienne (mais aussi chimiste et mathématicienne), polonaise naturalisée française.

Deux Prix Nobel lui ont été décernés: un en Physique (partagé avec son mari et Henri Becquerel) en $1903$ et un en Chimie en $1911$ pour la découverte de deux nouveaux éléments, le polonium (nom donné en hommage à ses origines) et le radium*.

On décide d'étudier le rayonnement radioactif du polonium lors de la désintégration des noyaux atomiques au cours du temps.

Au début de l'expérience, on dispose d'un morceau de $2$ g de polonium.

On sait que $1$ g de polonium contient $3 \times 10^{21}$ noyaux atomiques.

On admet que, au bout de 24 heures, $0,5$ des noyaux se sont désintégrés et que, pour compenser cette disparition, on ajoute alors $0,005$ g de polonium.

On modélise la situation à l'aide d'une suite $\left(v_n\right)_{n \in \mathbb{N}}$ ; on note $v_0$ le nombre de noyaux contenus dans le polonium au début de l'expérience.

Pour $n \geqslant 1,\: v_n$ désigne le nombre de noyaux contenus dans le polonium au bout de $n$ jours écoulés.

• 1.

  • a) Vérifier que $v_0 = 6\times 10^{21}$.

  • b) Expliquer que, pour tout nombre entier naturel $n$, on a

    $v_{n+1} = 0,995v_n + 1,5 \times 10^{19}.$

• 2.

  • a) Démontrer, par récurrence sur $n$, que $0 \leqslant v_{n+1} \leqslant v_n$.

  • b) En déduire que la suite $\left(v_n\right)_{n\in \mathbb{N}}$ est convergente.

• 3. On considère la suite $\left(u_n\right)_{n \in \mathbb{N}}$ définie, pour tout entier naturel $n$, par:

  $u_n = v_n - 3 \times 10^{21}.$

  • a) Montrer que la suite $\left(u_n\right)_{n \in \mathbb{N}}$ est géométrique de raison $0,995$.

  • b) En déduire que, pour tout entier naturel $n,\: v_n = 3 \times 10^{21}\left(0,995^n + 1\right)$.

  • c) En déduire la limite de la suite $\left(v_n\right)_{n \in \mathbb{N}}$ et interpréter le résultat dans le contexte de l'exercice.

• 4. Déterminer, par le calcul, au bout de combien de jours le nombre de noyaux de polonium sera inférieur à $4,5 \times 10^{21}$. Justifier la réponse.

• 5. On souhaite disposer de la liste des termes de la suite $\left(v_n\right)_{n \in \mathbb{N}}$.

  Pour cela, on utilise une fonction appelée noyaux programmée en langage Python et retranscrite partiellement ci-après.

  1 &def noyaux (n) :
  2 &     V =6*10**21
  3&     L=[V]
  4&     for k in range (n):
  5&          V= ...
  6&          L.append(V)
  7&     return L
  

  • a) À la lecture des questions précédentes, proposer deux solutions différentes pour compléter la ligne 5 de la fonction noyaux afin qu'elle réponde au problème.

  • b) Pour quelle valeur de l'entier n la commande noyaux(n) renverra-t-elle les relevés quotidiens du nombre de noyaux contenus dans l'échantillon de polonium pendant 52 semaines d'étude ?