Exercice 1 — Distances, projetés, aires et volumes, Orthogonalité et produit scalaire

Partie A

On considère deux cubes ABCDEFGH et BKLCFJMG positionnés comme sur la figure suivante:

(Figure : voir le sujet PDF.)

(Figure : voir le sujet PDF.)

Le point I est le milieu de [EF].

Dans toute la suite de l'exercice, on se place dans le repère orthonormé $\left(\text{A} ; \overrightarrow{\text{AB}} ; \overrightarrow{\text{AD}} ; \overrightarrow{\text{AE}}\right)$.

Ainsi, par exemple, les points F, G et J ont pour coordonnées

F(1 ; 0 ; 1), G(1 ; 1 ; 1) et J(2 ; 0 ; 1).

• 1. Montrer que le volume du tétraèdre FIGB est égal à $\dfrac{1}{12}$ d'unité de volume.

  On rappelle que le volume $V$ d'un tétraèdre est donné par la formule :

  $V = \dfrac13 \times \text{aire d'une base} \times \text{hauteur correspondante}$.

• 2. Déterminer les coordonnées du point I.

• 3. Montrer que le vecteur $\overrightarrow{\text{DJ}}$ un vecteur normal au plan (BIG).

• 4. Montrer qu'une équation cartésienne du plan (BIG) est $2x - y + z - 2 = 0$.

• 5. Déterminer une représentation paramétrique de la droite $d$, orthogonale à (BIG) et passant par F.

• 6.

  • a) La droite $d$ coupe le plan (BIG) au point L$'$.

    Montrer que les coordonnées du point L$'$ sont $\left(\dfrac23 ; \dfrac16 ; \dfrac56\right)$.

  • b) Calculer la longueur FL$'$.

  • c) Déduire des questions précédentes l'aire du triangle IGB.