Exercice 2 — Fonction exponentielle, Logarithme népérien

On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par

$f(x) = \ln \left(\text{e}^{2x} - \text{e}^x + 1\right).$

On note $\mathcal{C}_f$ sa courbe représentative représentée ci-dessous.

(Figure : voir le sujet PDF.)

(Figure : voir le sujet PDF.)

Un élève formule les conjectures suivantes à partir de cette représentation graphique :

(Tableau : voir le sujet PDF.)

Le but de cet exercice est de valider ou rejeter les conjectures concernant la fonction $f$.

Partie A : Étude d'une fonction auxiliaire

On définit sur $\mathbb{R}$ la fonction $g$ définie par

$g(x) = \text{e}^{2x} - \text{e}^x + 1.$

• 1. Déterminer $\displaystyle\lim_{x \to - \infty} g(x)$.

• 2. Montrer que $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} g(x) = + \infty$.

• 3. Montrer que $g'(x) = \text{e}^x\left(2\text{e}^x - 1\right)$ pour tout $x \in \mathbb{R}$.

• 4. Étudier le sens de variation de la fonction $g$ sur $\mathbb{R}$.

  Dresser le tableau des variations de la fonction $g$ en y faisant figurer la valeur exacte des extremums s'il y en a, ainsi que les limites de $g$ en $-\infty$ et $+ \infty$.

• 5. En déduire le signe de $g$ sur $\mathbb{R}$.

• 6. Sans en mener nécessairement les calculs, expliquer comment on pourrait établir le résultat de la question 5 en posant $X = \text{e}^x$.

Partie B

• 1. Justifier que la fonction $f$ est bien définie sur $\mathbb{R}$.

• 2. La fonction dérivée de la fonction $f$ est notée $f'$.

  Justifier que $f'(x) = \dfrac{g'(x)}{g(x)}$ pour tout $x \in \mathbb{R}$.

• 3. Déterminer une équation de la tangente à la courbe au point d'abscisse $0$.

• 4. Montrer que la fonction $f$ est strictement croissante sur $[-\ln (2) ;  +\infty[$.

• 5. Montrer que l'équation $f(x) = 2$ admet une unique solution $\alpha$ sur $[-\ln (2) ;  +\infty[$ et déterminer une valeur approchée de $\alpha$ à $10^{-2}$ près.

Partie C

À l'aide des résultats de la partie B, indiquer, pour chaque conjecture de l'élève, si elle est vraie ou fausse. Justifier.