Exercice 4 — Limites de suites, Suites et récurrence

Pour chacune des affirmations suivantes, préciser si elle est vraie ou fausse puis justifier la réponse donnée.

Toute réponse non argumentée ne sera pas prise en compte.

• 1. **Affirmation 1 **: Toute suite décroissante et minorée par 0 converge vers 0.

• 2. On considère une suite $\left(u_n\right)$ définie sur $\mathbb{N}$ telle que, pour tout entier $n$,on a $u_n \leqslant \dfrac{-9^n + 3^n}{7^n}$.

  Affirmation 2 : $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} u_n =- \infty$.

• 3. On considère la fonction suivante écrite en langage Python:

  1 {\blacktriangledown}& def terme(N):
  2&      U =1
  3 {\blacktriangledown}&     for i in range(N) :
  4&           U=U+i
  5&      return U
  

  Affirmation 3 : terme(4) renvoie la valeur 7.

• 4. Lors d'un concours, le gagnant a le choix entre deux prix :

• 5. Prix A : il reçoit 1000 euros par jour pendant 15 jours ;

• 6. Prix B : il reçoit 1 euro le 1$^{er}$ jour, 2 euros le 2$^e$ jour, 4 euros le 3$^e$ jour et pendant 15 jours la somme reçue double chaque jour.

  **Affirmation 4 **: La valeur du prix A est plus élevée que la valeur du prix B.

• 7. On considère la suite $\left(v_n\right)$ définie pour tout entier $n \geqslant 1$ par

  $v_n = \displaystyle\int_1^n \ln x\:\text{d}x.$

  **Affirmation 5 **: La suite $\left(v_n\right)$ est croissante.