Exercice 2 — Vecteurs, droites et plans, Orthogonalité et produit scalaire

Dans l'espace muni d'un repère orthonormé $\left(O\,;\,\vec{\imath},\,\vec{\jmath},\,\vec{k}\right)$ d'unité 1 cm, on considère les points : A$(3 ; -1 ; 1)$ ; B$(4 ; -1 ; 0)$ ; C$(0  ; 3 ; 2)$ ; D$(4 ; 3 ; -2)$ et S$(2 ; 1 ; 4)$.

Dans cet exercice on souhaite montrer que SABDC est une pyramide à base ABDC trapézoïdale de sommet S, afin de calculer son volume.

(Figure : voir le sujet PDF.)

(Figure : voir le sujet PDF.)

• 1. Montrer que les points A, B et C ne sont pas alignés.

• 2.

  • a) Montrer que les points A, B, C et D sont coplanaires.

  • b) Montrer que le quadrilatère ABDC est un trapèze de bases [AB] et [CD].

    On rappelle qu'un trapèze est un quadrilatère ayant deux côtés opposés parallèles appelés bases.

• 3.

  • a) Démontrer que le vecteur $\overrightarrow{n}(2 ; 1 ; 2)$ est un vecteur normal au plan (ABC).

  • b) En déduire une équation cartésienne du plan (ABC).

  • c) Déterminer une représentation paramétrique de la droite $\Delta$ passant par le point S et orthogonale au plan (ABC).

  • d) On note I le point d'intersection de la droite $\Delta$ et du plan (ABC).

    Montrer que le point I a pour coordonnées $\left(\dfrac23 ; \dfrac13 ; \dfrac83 \right)$, puis montrer que $\mathrm{SI} = 2\,\text{cm}$.

• 4.

  • a) Vérifier que le projeté orthogonal H du point B sur la droite (CD) a pour coordonnées H$(3 ; 3 ; -1)$ et montrer que HB $= 3\sqrt 2$ cm.

  • b) Calculer la valeur exacte de l'aire du trapèze ABDC.

    On rappelle que l'aire d'un trapèze est donnée par la formule

    $\mathcal{A} = \dfrac{b + B}{2} \times h$

    où $b$ et $B$ sont les longueurs des bases du trapèze et $h$ sa hauteur.

• 5. Déterminer le volume de la pyramide SABDC.

  On rappelle que le volume $V$ d'une pyramide est donné par la formule

  $V = \dfrac13 \times$ aire de la base $\times$ hauteur