CALCUL INTÉGRAL (aires, IPP, suites d'intégrales)

Terminale · Spécialité Mathématiques · Thème : Analyse (Intégration & Équations différentielles)

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Place dans le programme et prérequis

Ce chapitre est l'un des plus riches du programme : il introduit l'intégrale définie, l'interprétation géométrique en termes d'aire, l'intégration par parties (IPP) — nouveauté du programme de terminale — et le calcul de suites d'intégrales $(I_n)$, exercice pointu qui tombe régulièrement au bac.

Prérequis indispensables :

• Primitives (chapitre précédent — indispensable)
• Étude de fonction (position d'une courbe par rapport à l'axe des abscisses)
• Démonstration par récurrence (pour les suites d'intégrales)
• Théorème des gendarmes (pour la limite de $(I_n)$)

Chapitre débouchant sur : Équations différentielles (résolution avec calcul intégral), applications physiques (aire, valeur moyenne, énergie).

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1. Notions clés

1.1 Intégrale d'une fonction continue

Soit $f$ une fonction continue sur un intervalle $[a\,;b]$ et $F$ une primitive de $f$ sur $[a\,;b]$. L'intégrale de $f$ entre $a$ et $b$ est le nombre : $\int_a^b f(x)\,dx = F(b) - F(a)$

Ce nombre ne dépend pas de la primitive $F$ choisie (les constantes s'annulent dans la soustraction).

Notation : $\big[F(x)\big]_a^b = F(b) - F(a)$.

1.2 Interprétation géométrique — aire

Si $f$ est positive et continue sur $[a\,;b]$, alors : $\int_a^b f(x)\,dx = \text{aire du domaine délimité par } \mathcal{C}_f, \; \text{l'axe des abscisses, et les droites } x = a, x = b$

Unité d'aire (u.a.) : l'aire d'un rectangle de côtés 1 unité (sur $Ox$) × 1 unité (sur $Oy$). Souvent : 1 u.a. = 1 cm² × 1 cm² (à adapter selon le repère).

1.3 Cas d'une fonction négative

Si $f \leqslant 0$ sur $[a\,;b]$, alors $\int_a^b f(x)\,dx \leqslant 0$, et l'aire du domaine est $-\int_a^b f(x)\,dx = \int_a^b |f(x)|\,dx$.

1.4 Valeur moyenne

La valeur moyenne de $f$ continue sur $[a\,;b]$ est : $\mu = \dfrac{1}{b - a} \int_a^b f(x)\,dx$

Interprétation : c'est la hauteur du rectangle de base $[a\,;b]$ ayant même aire que la région sous $\mathcal{C}_f$.

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2. Formulaire — théorèmes et propriétés

T1 — Théorème fondamental du calcul intégral

Soit $f$ continue sur $I$ et $a \in I$. La fonction $F$ définie par : $F(x) = \int_a^x f(t)\,dt$ est l'unique primitive de $f$ sur $I$ qui s'annule en $a$.

Conséquence pratique : $\int_a^b f(x)\,dx = F(b) - F(a) \; \text{pour toute primitive } F \text{ de } f$

T2 — Propriétés algébriques

Linéarité : $\int_a^b \big({\color{#EE0000}{\alpha}}\,f(x) + {\color{#0070C0}{\beta}}\,g(x)\big)\,dx = {\color{#EE0000}{\alpha}} \int_a^b f(x)\,dx + {\color{#0070C0}{\beta}} \int_a^b g(x)\,dx$

Relation de Chasles : pour tout $c \in [a\,;b]$, $\int_a^b f(x)\,dx = \int_a^c f(x)\,dx + \int_c^b f(x)\,dx$

Bornes inversées : $\int_a^b f(x)\,dx = -\int_b^a f(x)\,dx \qquad \int_a^a f(x)\,dx = 0$

T3 — Positivité et croissance

• Positivité : si $f \geqslant 0$ sur $[a\,;b]$ (avec $a \leqslant b$), alors $\int_a^b f(x)\,dx \geqslant 0$.
• Croissance : si $f \leqslant g$ sur $[a\,;b]$ (avec $a \leqslant b$), alors $\int_a^b f(x)\,dx \leqslant \int_a^b g(x)\,dx$.

Corollaire — encadrement : si $m \leqslant f(x) \leqslant M$ sur $[a\,;b]$, alors : $m(b - a) \leqslant \int_a^b f(x)\,dx \leqslant M(b - a)$

T4 — Intégration par parties (IPP)

Soient $u$ et $v$ deux fonctions de classe $\mathcal{C}^1$ sur $[a\,;b]$ (c'est-à-dire dérivables à dérivée continue). Alors : $\int_a^b u(x)\,v'(x)\,dx = \Big[u(x)\,v(x)\Big]_a^b - \int_a^b u'(x)\,v(x)\,dx$

Formule à savoir par cœur. Elle transforme une intégrale (avec $u\,v'$) en une autre intégrale (avec $u'\,v$), en général plus simple.

T5 — Aire entre deux courbes

Si $f \geqslant g$ sur $[a\,;b]$, l'aire du domaine compris entre $\mathcal{C}_f$ et $\mathcal{C}_g$ sur $[a\,;b]$ est : $\mathcal{A} = \int_a^b \big(f(x) - g(x)\big)\,dx$

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3. Méthodes types au bac

M1 — Calcul direct par primitive

Démarche.

1. Trouver une primitive $F$ de $f$ (voir fiche Primitives).
2. Appliquer $\int_a^b f(x)\,dx = F(b) - F(a)$.
3. Simplifier le résultat.

Exemple. $\int_0^1 (3x^2 + 2x)\,dx$.

Primitive : $F(x) = x^3 + x^2$. Alors $\int_0^1 = F(1) - F(0) = (1 + 1) - 0 = 2$.

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M2 — Calcul par forme composée reconnaissable

Démarche. Identifier une forme $u'\,u^n$, $u'/u$, $u'\,e^u$, etc. et utiliser directement le tableau de primitives composées (voir fiche Primitives, T2).

Exemple. $\int_0^1 \dfrac{2x}{x^2 + 1}\,dx$.

${\color{#0070C0}{u}}(x) = x^2 + 1$, ${\color{#0070C0}{u}}'(x) = 2x$ : forme $\dfrac{u'}{u}$, primitive $\ln {\color{#0070C0}{u}}$.

$\int_0^1 \dfrac{2x}{x^2+1}\,dx = \big[\ln(x^2 + 1)\big]_0^1 = \ln 2 - \ln 1 = \ln 2$.

Exemple 2 — forme $u'\,e^u$. $\int_0^1 2x\,e^{x^2}\,dx = \big[e^{x^2}\big]_0^1 = e - 1$.

Où c'est tombé : systématique. Métropole 2021, 2022, 2023, 2024 (toutes sessions), Polynésie, Amérique du Nord.

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M3 — Intégration par parties (IPP)

LA méthode phare du chapitre au bac.

Choix de $u$ et $v'$ : on choisit $u$ de sorte que $u'$ soit plus simple que $u$ (souvent, un polynôme dont on abaisse le degré, ou $\ln x$ qui devient $\dfrac{1}{x}$).

Règle mnémotechnique « ALPES » — priorité pour choisir $u$ :

1. Arc (fonctions trigo inverses, hors programme)
2. Logarithme ($\ln$)
3. Polynôme
4. Exponentielle
5. Sinus / cosinus

Ce qui est plus haut dans la liste devient $u$, l'autre devient $v'$.

Rédaction canonique.

On pose :

• $u(x) = \ldots$, donc $u'(x) = \ldots$
• $v'(x) = \ldots$, donc $v(x) = \ldots$

Les fonctions $u$ et $v$ sont de classe $\mathcal{C}^1$ sur $[a\,;b]$. Par intégration par parties : $\int_a^b u\,v'\,dx = [uv]_a^b - \int_a^b u'\,v\,dx$

Calcul terme à terme.

Exemple. Calculer $I = \int_0^1 x\,e^x\,dx$.

Poser $u(x) = x$ (polynôme, priorité P sur E), donc $u'(x) = 1$ ; $v'(x) = e^x$, donc $v(x) = e^x$.

$u$ et $v$ sont $\mathcal{C}^1$ sur $[0\,;1]$. Par IPP : $I = [x\,e^x]_0^1 - \int_0^1 1 \times e^x\,dx = (1 \times e - 0) - [e^x]_0^1 = e - (e - 1) = 1$

Où c'est tombé : systématique dans les exercices d'intégrale complexe. Métropole 2021, 2022, sept. 2023, juin 2024 ; Polynésie 2023, 2024 ; Amérique du Nord 2023, 2024 ; Centres Étrangers 2024.

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M4 — Calcul d'une aire

Aire d'une région sous une courbe (fonction $\geqslant 0$) : $\mathcal{A} = \int_a^b f(x)\,dx \; \text{(en u.a.)}$

Aire entre deux courbes (avec $f \geqslant g$ sur $[a\,;b]$) : $\mathcal{A} = \int_a^b \big(f(x) - g(x)\big)\,dx$

Point-clé : avant de calculer, justifier la position de $f$ par rapport à $g$ (ou à l'axe des abscisses) sur l'intervalle — sinon le calcul est incorrect. Utiliser une étude de signe de $f - g$.

Cas d'une fonction changeant de signe : découper l'intervalle et utiliser $|f|$ (ou l'opposé) sur les zones négatives.

Conversion : si le repère est en cm, 1 u.a. = 1 cm × 1 cm = 1 cm². Si les unités du repère sont différentes ($1\,\text{cm}$ sur $Ox$, $2\,\text{cm}$ sur $Oy$), alors 1 u.a. = $1 \times 2 = 2\,\text{cm}^2$.

Où c'est tombé : Métropole 2022, sept. 2023, Polynésie 2024, Antilles 2024.

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M5 — Valeur moyenne

Démarche.

1. Calculer $\int_a^b f(x)\,dx$ (par primitive, IPP...).
2. Diviser par $(b - a)$.

Exemple. Valeur moyenne de $f(x) = x^2$ sur $[0\,;3]$.

$\int_0^3 x^2\,dx = \big[\dfrac{x^3}{3}\big]_0^3 = 9$. Valeur moyenne : $\mu = \dfrac{1}{3 - 0} \times 9 = 3$.

Où c'est tombé : régulier en question courte. Métropole 2022, Polynésie 2023.

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M6 — Encadrement d'une intégrale

Type d'énoncé : « Démontrer que $\dfrac{1}{2} \leqslant \int_0^1 f(x)\,dx \leqslant 1$. »

Démarche.

1. Encadrer $f(x)$ sur $[a\,;b]$ : trouver $m$ et $M$ tels que $m \leqslant f(x) \leqslant M$.
2. Intégrer l'encadrement (croissance de l'intégrale) : $m(b-a) \leqslant \int_a^b f(x)\,dx \leqslant M(b-a)$.

Où c'est tombé : Métropole 2022, Polynésie sept. 2023.

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M7 — Étude d'une suite d'intégrales $(I_n)$

Type d'énoncé classique : on définit $I_n = \int_0^1 f_n(x)\,dx$ (par exemple $I_n = \int_0^1 x^n\,e^x\,dx$). L'exercice enchaîne :

1. Calcul de $I_0$ (ou premier terme).
2. Relation de récurrence entre $I_{n+1}$ et $I_n$ (souvent par IPP — voir M8).
3. Étude du sens de variation de $(I_n)$ (comparer $I_{n+1} - I_n$, ou encadrer $f_{n+1}$ et $f_n$).
4. Encadrement de $I_n$ ou majoration.
5. Limite de $I_n$ (par gendarmes).

Structure canonique — 4 à 6 questions, souvent notées 5 à 7 points.

Où c'est tombé : Métropole juin 2022, sept. 2023, juin 2024, Polynésie 2024, Amérique du Nord 2024, Centres Étrangers 2024.

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M8 — Relation de récurrence entre $I_n$ et $I_{n+1}$ par IPP

Type d'énoncé : « Démontrer que pour tout $n \in \mathbb{N}$, $I_{n+1} = \ldots$ (relation en fonction de $I_n$). »

Démarche. Écrire $I_{n+1}$ sous forme intégrale, puis appliquer une IPP en choisissant $u$ et $v'$ de sorte à faire apparaître $I_n$ dans le résultat.

Exemple. $I_n = \int_0^1 x^n\,e^x\,dx$.

Pour $I_{n+1} = \int_0^1 x^{n+1}\,e^x\,dx$ : IPP avec $u(x) = x^{n+1}$, $v'(x) = e^x$.

$u'(x) = (n+1)x^n$, $v(x) = e^x$.

$I_{n+1} = [x^{n+1}\,e^x]_0^1 - \int_0^1 (n+1)x^n\,e^x\,dx = e - (n+1)\,I_n$.

Donc $I_{n+1} = e - (n+1)\,I_n$.

Où c'est tombé : structure canonique bac, Métropole 2022, sept. 2023, Polynésie 2024.

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4. Analyse fréquentielle

• Le calcul intégral apparaît dans environ 70 % des sujets de bac spécialité maths.
• Format le plus fréquent — deux configurations :
  1. Question courte en fin d'étude de fonction : « Calculer l'aire du domaine délimité par $\mathcal{C}_f$ et l'axe des abscisses sur $[0\,;1]$. » Notée 2-4 points.
  2. Exercice à part entière — suite d'intégrales $(I_n)$ : 4 à 6 questions, 5 à 7 points. Presque toujours avec une IPP.
• IPP au bac : dans environ 30 % des sujets — c'est la méthode-signature du chapitre, à maîtriser absolument.
• Aire entre deux courbes (M4) : régulier — Métropole 2022, Polynésie 2024, Antilles 2024.
• Valeur moyenne (M5) : en question courte, régulière.
• Encadrement d'intégrale (M6) : dans les exercices sur $(I_n)$ pour préparer l'application du théorème des gendarmes.
• Suite $(I_n)$ avec IPP et limite par gendarmes : exercice-type très classique, apparaît environ 1 sujet sur 3.

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5. Erreurs fréquentes

1. Confondre $F(b) - F(a)$ et $F(a) - F(b)$ : erreur numéro un dans les calculs.
2. Ajouter la constante $C$ dans le calcul de $F(b) - F(a)$ : elle est superflue (elle s'annule).
3. Confondre primitive et intégrale : une primitive est une fonction ; une intégrale est un nombre.
4. Oublier de justifier la position de $f$ par rapport à $g$ avant de calculer une aire.
5. Calculer une aire sans vérifier le signe de $f$ : si $f$ change de signe, l'intégrale n'est pas égale à l'aire (il faut $|f|$).
6. Choisir mal $u$ et $v'$ dans l'IPP : si $u'$ n'est pas plus simple que $u$, la nouvelle intégrale est aussi compliquée que l'ancienne.
7. Erreur de signe dans l'IPP : oublier le signe $-$ devant $\int u'\,v\,dx$.
8. Ne pas préciser que $u$ et $v$ sont $\mathcal{C}^1$ dans la rédaction IPP : point de rigueur exigé au bac.
9. Oublier la relation de Chasles quand la fonction change de signe : découper l'intervalle en zones de signe constant.
10. Calculer $\int_a^a f$ non nulle : par définition, $\int_a^a = 0$.
11. Inverser les bornes sans changer le signe : $\int_b^a f = -\int_a^b f$.
12. Confondre valeur moyenne et intégrale : la valeur moyenne se divise par $(b-a)$.

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6. Formulaire à retenir

Objet	Formule
Intégrale (théorème fondamental)	$\int_a^b f(x)\,dx = F(b) - F(a)$
Linéarité	$\int(\alpha f + \beta g) = \alpha \int f + \beta \int g$
Chasles	$\int_a^b = \int_a^c + \int_c^b$
Bornes inversées	$\int_a^b = -\int_b^a$
Positivité	$f \geqslant 0$ ⇒ $\int f \geqslant 0$
Croissance	$f \leqslant g$ ⇒ $\int f \leqslant \int g$
Encadrement	$m \leqslant f \leqslant M$ ⇒ $m(b-a) \leqslant \int_a^b f \leqslant M(b-a)$
Aire sous la courbe ($f \geqslant 0$)	$\mathcal{A} = \int_a^b f\,dx$ (u.a.)
Aire entre 2 courbes ($f \geqslant g$)	$\mathcal{A} = \int_a^b (f - g)\,dx$
Valeur moyenne	$\mu = \dfrac{1}{b-a} \int_a^b f\,dx$
IPP	$\int_a^b u\,v'\,dx = [uv]_a^b - \int_a^b u'\,v\,dx$
Priorité IPP (ALPES)	Log > Polynôme > Exp > Sin/Cos

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7. Annales à consulter sur vecteurmaths.fr

Intégration par parties (M3) :

• Métropole — 2024 J1 ex. 2 · 2024 J1 ex. 4 · 2024 J2 ex. 3 · 2024 J2 ex. 4 · 2024 J2 ex. 4
• Polynésie — 2024 J1 ex. 2 · 2024 J2 ex. 2
• Amérique du Nord — 2024 J1 ex. 4 · 2024 J2 ex. 4
• Centres Étrangers — 2024 J1 ex. 3
• Asie — 2024 J1 ex. 1 · 2024 J1 ex. 4

Suite d'intégrales $(I_n)$ avec IPP + limite (M7, M8) — exercice-type :

• Métropole — 2024 J1 ex. 2 · 2024 J1 ex. 4 · 2024 J2 ex. 3 · 2024 J2 ex. 4 · 2024 J2 ex. 4
• Polynésie — 2024 J1 ex. 2 · 2024 J2 ex. 2
• Amérique du Nord — 2024 J1 ex. 4 · 2024 J2 ex. 4
• Centres Étrangers — 2024 J1 ex. 3

Calcul d'aire (M4) :

• Polynésie — 2024 J1 ex. 2 · 2024 J2 ex. 2
• Amérique du Sud — 2024 J1 ex. 3 · 2024 J2 ex. 3

Aire entre deux courbes :

• Polynésie — 2024 J1 ex. 2 · 2024 J1 ex. 2 · 2024 J2 ex. 2