Exercice 4 — Combinatoire et dénombrement, Calcul intégral (aires, IPP, suites d'intégrales)

*Pour chacune des affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse.

Chaque réponse doit être justifiée. Une réponse non justifiée ne rapporte aucun point.*

• 1. Soient $E$ et $F$ les ensembles $E = \{1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 7\}$ et

  $F = \{0 ; 1 ; 2 ; 3 ;  4 ; 5 ; 6 ; 7 ; 8 ; 9\}$.

  Affirmation n° 1 : Il y a davantage de 3-uplets d'éléments distincts de $E$ que de combinaisons à 4 éléments de $F$.

• 1. Dans le repère orthonormé ci-contre, on a représenté la fonction carré, notée $f$, ainsi que le carré ABCD de côté 3.

  Affirmation n° 2 : La zone hachurée et le carré ABCD ont la même aire.

(Figure : voir le sujet PDF.)

(Figure : voir le sujet PDF.)

• 1. On considère l'intégrale $J$ ci-dessous :

  $J = \displaystyle\int_1^2 x \ln (x)\,\text{d}x.$

  Affirmation n° 3 : Une intégration par parties permet d'obtenir: $J = \dfrac{7}{11}$.

• 2. Sur $\mathbb{R}$, on considère l'équation différentielle

  $(E) :\quad y' = 2y - \text{e}^x.$

  Affirmation n° 4 : La fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = \text{e}^x + \text{e}^{2x}$ est solution de l'équation différentielle $(E)$.

• 3. Soit $x$ donné dans [0 ; 1[. On considère la suite $(u_n)$ définie pour tout entier naturel $n$ par:

  $u_n = (x - 1)\text{e}^n + \cos (n).$

  Affirmation n° 5 : La suite $(u_n)$ diverge vers $-\infty.$