Exercice 1 — Étude complète de fonction, Dérivation et convexité

Partie A

On considère une fonction $f$ définie sur $[0 ;  +\infty[$, représentée par la courbe $\mathcal{C}$ ci-dessous.

La droite $T$ est tangente à la courbe $\mathcal{C}$ au point A d'abscisse $\dfrac52$.

(Figure : voir le sujet PDF.)

(Figure : voir le sujet PDF.)

• 1. Dresser, par lecture graphique, le tableau des variations de la fonction $f$ sur l'intervalle [0 ; 5].

• 2. Que semble présenter la courbe $\mathcal{C}$ au point A ?

• 3. La dérivée $f'$ et la dérivée seconde $f''$ de la fonction $f$ sont représentées par les courbes ci-dessous.

  Associer à chacune de ces deux fonctions la courbe qui la représente.

  Ce choix sera justifié.

  (Tableau : voir le sujet PDF.)

• 4. La courbe $\mathcal{C}_3$ ci-contre peut-elle être la représentation graphique sur $[0 ; +\infty[$ d'une primitive de la fonction $f$ ? Justifier.

  (Figure : voir le sujet PDF.)

  (Figure : voir le sujet PDF.)

Partie B

Dans cette partie, on considère que la fonction $f$, définie et deux fois dérivable sur $[0 ;  +\infty[$, est définie par

$f(x) = (4x - 2)\text{e}^{-x+1}.$

On notera respectivement $f'$ et $f''$ la dérivée et la dérivée seconde de la fonction $f$.

• 1. Étude de la fonction $f$

  • a) Montrer que $f'(x) = (-4x + 6)\text{e}^{-x+1}$.

  • b) Utiliser ce résultat pour déterminer le tableau complet des variations de la fonction $f$ sur $[0 ;  +\infty[$. On admet que $\displaystyle\lim_{x \to + \infty}f(x) = 0$.

  • c) Étudier la convexité de la fonction $f$ et préciser l'abscisse d'un éventuel point d'inflexion de la courbe représentative de $f$.

• 2. On considère une fonction $F$ définie sur $[0 ;  +\infty[$ par $F(x) = (ax + b)\text{e}^{-x+1}$, où $a$ et $b$ sont deux nombres réels.

  • a) Déterminer les valeurs des réels $a$ et $b$ telles que la fonction $F$ soit une primitive de la fonction $f$ sur $[0 ;  +\infty[$.

  • b) On admet que $F(x) = (-4x - 2)\text{e}^{-x+1}$ est une primitive de la fonction $f$ sur $[0 ;  +\infty[$.

    En déduire la valeur exacte, puis une valeur approchée à $10^{-2}$ près, de l'intégrale

    $I = \displaystyle\int_{\frac32}^8 f(x)\:\text{d}x.$

• 3. Une municipalité a décidé de construire une piste de trottinette freestyle.

  Le profil de cette piste est donné par la courbe représentative de la fonction $f$ sur l'intervalle $\left[\frac32 ;  8\right]$.

  L'unité de longueur est le mètre.

  (Figure : voir le sujet PDF.)

  (Figure : voir le sujet PDF.)

  • a) Donner une valeur approchée au cm près de la hauteur du point de départ D.

  • b) La municipalité a organisé un concours de graffiti pour orner le mur de profil de la piste. L'artiste retenue prévoit de couvrir environ 75 % de la surface du mur.

    Sachant qu'une bombe aérosol de $150$ mL permet de couvrir une surface de $0,8$ m$^2$, déterminer le nombre de bombes qu'elle devra utiliser pour réaliser cette œuvre.