Exercice 1 — Probabilités conditionnelles et arbres, Loi binomiale

Une équipe américaine a cartographié pour la première fois les allergies alimentaires chez l'enfant aux États-Unis en 2020. L'étude, publiée dans la revue Clinical Pediatries, révèle une différence nette entre les zones rurales et les zones urbaines.

On sait qu'en 2020, 17 % de la population des États-Unis habite en zone rurale et 83 % en zone urbaine.

L'étude menée montre que parmi les enfants des États-Unis vivant en zone rurale, il y en a 6,2 % qui sont atteints d'allergie alimentaire.

L'étude révèle aussi que 9 % des enfants des États-Unis sont atteints d'allergie alimentaire.

Pour un évènement $E$ quelconque, on note $P(E)$ sa probabilité et $\overline{E}$ son évènement contraire.

Sauf mention contraire, les probabilités seront données sous forme exacte.

Partie A

On interroge au hasard un enfant dans la population des États-Unis et on note :

• $R$ L'évènement: « l'enfant interrogé habite en zone rurale » ;

• $A$ L'évènement: « l'enfant interrogé est atteint d'allergie alimentaire ».

• 1. Traduire cette situation à l'aide d'un arbre de probabilité. Cet arbre pourra être complété par la suite.

• 2.

  • a) Calculer la probabilité que l'enfant interrogé habite en zone rurale et soit atteint d'allergie alimentaire,

  • b) En déduire la probabilité que l'enfant interrogé habite en zone urbaine et soit atteint d'allergie alimentaire.

  • c) L'enfant interrogé habite en zone urbaine. Quelle est la probabilité qu'il soit atteint d'allergie alimentaire ? Arrondir le résultat à $10^{-4}$.

Partie B

On réalise une étude en interrogeant au hasard $100$ enfants des États-Unis.

On admet que ce choix se ramène à des tirages successifs indépendants avec remise.

On note $X$ la variable aléatoire donnant le nombre d'enfants atteints d'allergie alimentaire dans l'échantillon considéré.

• 1. Justifier que la variable aléatoire $X$ suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres.
• 2. Quelle est la probabilité qu'au moins 10 enfants parmi les $100$ interrogés soient atteints d'allergie alimentaire ? Arrondir le résultat à $10^{-4}$.

Partie C

On s'intéresse à un échantillon de 20 enfants atteints d'allergie alimentaire choisis au hasard.

L'âge d'apparition des premiers symptômes allergiques de ces 20 enfants est modélisé par les variables aléatoires $A_1,\: A_2,…, ,A_{20}$. On admet que ces variables aléatoires sont indépendantes et suivent la même loi d'espérance $4$ et de variance $2,25$.

On considère la variable aléatoire:

$M_{20} = \dfrac{A_1 + A_2 + … + A_{20}}{20}.$

• 1. Que représente la variable aléatoire $M_{20}$ dans le contexte de l'exercice ?

• 2. Déterminer l'espérance et la variance de $M_{20}$.

• 3. Justifier, à l'aide de l'inégalité de concentration, que

  $P\left (2 < M_{20} < 6\right ) > 0,97.$

  Interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice.