Exercice 4 — Probabilités conditionnelles et arbres, Loi binomiale

(Tableau : voir le sujet PDF.)

L'espace est muni d'un repère orthonormé $\left(O\,;\,\vec{\imath},\,\vec{\jmath},\,\vec{k}\right)$.

On considère les points A$(5 ; 0 ; -1)$, B$(1 ; 4 ; -1)$, C(1 ; 0 ; 3), D(5 ; 4 ; 3) et E(10 ; 9 ; 8).

• 1.

  • a) Soit R le milieu du segment [AB].

    Calculer les coordonnées du point R ainsi que les coordonnées du vecteur $\overrightarrow{\text{AB}}$.

  • b) Soit $\mathcal{P}_1$ le plan passant par le point R et dont $\overrightarrow{\text{AB}}$ est un vecteur normal. Démontrer qu'une équation cartésienne du plan $\mathcal{P}_1$ est :

    $x - y - 1 = 0.$

  • c) Démontrer que le point E appartient au plan $\mathcal{P}_1$ et que EA = EB .

• 2. On considère le plan $\mathcal{P}_2$ d'équation cartésienne $x - z - 2 = 0$.

  • a) Justifier que les plans $\mathcal{P}_1$ et $\mathcal{P}_2$ sont sécants.

  • b) On note $\Delta$ la droite d'intersection de $\mathcal{P}_1$ et $\mathcal{P}_2$.

    Démontrer qu'une représentation paramétrique de la droite $\Delta$ est :

    x&=&2+t \\

y&=&1+t \ z&=&t \end{array}\right.(t \in \mathbb{R}).$$

• 3. On considère le plan $\mathcal{P}_3$ d'équation cartésienne $y + z - 3 = 0$.

  Justifier que la droite $\Delta$ est sécante au plan $\mathcal{P}_3$ en un point $\Omega$ dont on déterminera les coordonnées.

Si S et T sont deux points distincts de l'espace, on rappelle que l'ensemble des points M de l'espace tels que MS = MT est un plan, appelé plan médiateur du segment [ST]. On admet que les plans $\mathcal{P}_1$,: $\mathcal{P}_2$ et $\mathcal{P}_3$ sont les plans médiateurs respectifs des segments [AB], [AC] et [AD].

• 1.

  • a) Justifier que $\Omega \text{A} = \Omega \text{B} = \Omega \text{C} = \Omega \text{D}$.

  • b) En déduire que les points A, B, C et D appartiennent à une même sphère dont on précisera le centre et le rayon.