Exercice 3 — Fonction exponentielle, Limites de suites

(Tableau : voir le sujet PDF.)

Partie A

On considère la fonction $f$ définie pour tout réel $x$ par:

$f(x) = 1+x - \text{e}^{0,5x - 2}.$

On admet que la fonction $f$ est dérivable sur $\mathbb{R}$. On note $f'$ sa dérivée.

• 1.

  • a) Déterminer la limite de la fonction $f$ en $- \infty$.

  • b) Démontrer que, pour tout réel $x$ non nul, $f(x) = 1+ 0,5x\left(2 - \dfrac{\text{e}^{0,5x}}{0,5x} \times \text{e}^{-2}\right)$.

    En déduire la limite de la fonction $f$ en $+\infty$.

• 2.

  • a) Déterminer $f'(x)$ pour tout réel $x$.

  • b) Démontrer que l'ensemble des solutions de l'inéquation $f'(x) < 0$ est l'intervalle

    $]4 + 2\ln (2) ; +\infty[$.

• 3. Déduire des questions précédentes le tableau de variation de la fonction $f$ sur $\mathbb{R}$. On fera figurer la valeur exacte de l'image de $4 + 2\ln (2)$ par $f$.

• 4. Montrer que l'équation $f(x) = 0$ admet une unique solution sur l'intervalle $[-1 ; 0]$.

Partie B

On considère la suite $\left(u_n\right)$ définie par $u_0 = 0$ et, pour tout entier naturel $n$, : $u_{n+1} = f\left(u_n\right)$ où $f$ est la fonction définie à la partie A.

• 1.

  • a) Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$, on a :

    $u_n \leqslant u_{n+1} \leqslant 4.$

  • b) En déduire que la suite $\left(u_n\right)$ converge. On notera $\ell$ la limite.

• 2.

  • a) On rappelle que $f$ vérifie la relation $\ell = f(\ell)$.

    Démontrer que $\ell = 4$.

  • b)  

    On considère la fonction valeur écrite ci-contre dans le langage Python :

    def valeur (a) :
         u = 0
         n = 0
         while u \leqslant a:
         u=1 + u - exp(0.5*u - 2)
         n = n+1
         return n
    

    L'instruction valeur(3.99) renvoie la valeur 12.

    Interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice.