Exercice 1 — Logarithme népérien, Dérivation et convexité

(Tableau : voir le sujet PDF.)

Dans une station de ski, il existe deux types de forfait selon l'âge du skieur :

• un forfait JUNIOR pour les personnes de moins de 25 ans ;
• un forfait SENIOR pour les autres.

Par ailleurs, un usager peut choisir, en plus du forfait correspondant à son âge l'option coupe-file qui permet d'écourter le temps d'attente aux remontées mécaniques.

On admet que:

• 20 % des skieurs ont un forfait JUNIOR ;
• 80 % des skieurs ont un forfait SENIOR ;
• parmi les skieurs ayant un forfait JUNIOR, 6 % choisissent l'option coupe-file ;
• parmi les skieurs ayant un forfait SENIOR, 12,5 % choisissent l'option coupe-file.

On interroge un skieur au hasard et on considère les évènements :

• $J$ : « le skieur a un forfait JUNIOR » ;
• $C$ : « le skieur choisit l'option coupe-file ».

Les deux parties peuvent être traitées de manière indépendante

Partie A

• 1. Traduire la situation par un arbre pondéré.
• 2. Calculer la probabilité $P(J \cap C)$.
• 3. Démontrer que la probabilité que le skieur choisisse l'option coupe-file est égale à $0,112$.
• 4. Le skieur a choisi l'option coupe-file. Quelle est la probabilité qu'il s'agisse d'un skieur ayant un forfait SENIOR ? Arrondir le résultat à $10^{-3}$.
• 5. Est-il vrai que les personnes de moins de vingt-cinq ans représentent moins de 15 % des skieurs ayant choisi l'option coupe-file ? Expliquer.

Partie B

On rappelle que la probabilité qu'un skieur choisisse l'option coupe-file est égale à 0,112.

On considère un échantillon de $30$ skieurs choisis au hasard.

Soit $X$ la variable aléatoire qui compte le nombre des skieurs de l'échantillon ayant choisi t'option coupe-file.

• 1. On admet que la variable aléatoire $X$ suit une loi binomiale.

  Donner les paramètres de cette loi.

• 2. Calculer la probabilité qu'au moins un des $30$ skieurs ait choisi l'option coupe-file. Arrondir le résultat à $10^{-3}$.

• 3. Calculer la probabilité qu'au plus un des $30$ skieurs ait choisi l'option coupe-file. Arrondir le résultat à $10^{-3}$.

• 4. Calculer l'espérance mathématique de la variable aléatoire $X$.