Exercice 2 — Vecteurs, droites et plans, Orthogonalité et produit scalaire

(Tableau : voir le sujet PDF.)

*Cet exercice est un questionnaire à choix multiples.

Pour chacune des questions suivantes, une seule des quatre réponses proposées est exacte.

Une réponse exacte rapporte un point. Une réponse fausse, une réponse multiple ou l'absence de réponse à une question ne rapporte ni n'enlève de point.

Pour répondre, indiquer sur la copie le numéro de la question et la lettre de la réponse choisie. Aucune justification n'est demandée.*

• 1. Un récipient contenant initialement 1 litre d'eau est laissé au soleil.

  Toutes les heures, le volume d'eau diminue de 15 %.

  Au bout de quel nombre entier d'heures le volume d'eau devient-il inférieur à un quart de litre ?

  • A. **a.  ** 2 heures
  • B. **b.  ** 8 heures .
  • C. **c.  ** 9 heures
  • D. **d.  ** 13 heures

• 2. On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle $]0 ; +\infty[$ par $f(x) = 4\ln (3x)$.

  Pour tout réel $x$ de l'intervalle $]0 ; +\infty[$ , on a :

  (Tableau : voir le sujet PDF.)

• 3. On considère la fonction $g$ définie sur l'intervalle $]1 ; +\infty[$ par :

  $g(x) = \dfrac{\ln (x)}{x - 1}.$

  On note $\mathcal{C}_g$ la courbe représentative de la fonction $g$ dans un repère orthogonal. La courbe $\mathcal{C}_g$ admet :

  (Tableau : voir le sujet PDF.)

Dans la suite de l'exercice, on considère la fonction $h$ définie sur l'intervalle ]0 ; 2] par:

$h(x) = x^2[1 + 2\ln (x)].$

On note $\mathcal{C}_h$ la courbe représentative de $h$ dans un repère du plan.

On admet que $h$ est deux fois dérivable sur l'intervalle ]0 ; 2].

On note $h'$ sa dérivée et $h''$ sa dérivée seconde.

On admet que, pour tout réel $x$ de l'intervalle ]0 ; 2], on a :

$h'(x) = 4x(1 + \ln (x)).$

• 1. Sur l'intervalle $\left]\dfrac{1}{\text{e}} ; 2\right]$, la fonction $h$ s'annule :

  (Tableau : voir le sujet PDF.)

• 2. Une équation de la tangente à $\mathcal{C}_h$ au point d'abscisse $\sqrt{\text{e}}$ est:

  (Tableau : voir le sujet PDF.)

• 3. Sur l'intervalle ]0 ; 2], le nombre de points d'inflexion de la courbe $\mathcal{C}_h$ est égal à :

  • A. **a.  ** 0
  • B. **b.  ** 1
  • C. **c.  ** 2
  • D. **d.  ** 3

• 4. (Uniquement au Liban) On considère la suite $\left(u_n\right)$ définie pour tout entier naturel $n$ par

  $u_{n+1} = \dfrac12u_n + 3\quad \text{et}\quad u_0 = 6.$

  On peut affirmer que :

  (Tableau : voir le sujet PDF.)