Exercice 3 — Équations différentielles, Calcul intégral (aires, IPP, suites d'intégrales)

On considère l'équation différentielle

$\left(E_0\right) :\quad y' = y$

où $y$ est une fonction dérivable de la variable réelle $x$.

• 1. Démontrer que l'unique fonction constante solution de l'équation différentielle $\left(E_0\right)$ est la fonction nulle.

• 2. Déterminer toutes les solutions de l'équation différentielle $\left(E_0\right)$.

  On considère l'équation différentielle

  $(E) :\quad y' = y - \cos (x) - 3\sin (x)$

  où $y$ est une fonction dérivable de la variable réelle $x$.

• 3. La fonction $h$ est définie sur $\mathbb{R}$ par $h(x) = 2 \cos (x) + \sin (x)$.

  On admet qu'elle est dérivable sur $\mathbb{R}$.

  Démontrer que la fonction $h$ est solution de l'équation différentielle $(E)$.

• 4. On considère une fonction $f$ définie et dérivable sur $\mathbb{R}$.

  Démontrer que : « $f$ est solution de $(E)$ » est équivalent à « $f - h$ est solution de $\left(E_0\right)$ ».

• 5. En déduire toutes les solutions de l'équation différentielle $(E)$.

• 6. Déterminer l'unique solution $g$ de l'équation différentielle $(E)$ telle que $g(0) = 0$.

• 7. Calculer:

  $\displaystyle\int_0^{\frac{\pi}{2}} \left[-2\text{e}^x + \sin (x) + 2\cos (x)\right]\:\text{d}x.$