Exercice 2 — Suites définies par une fonction (uₙ₊₁ = f(uₙ))

On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle [0 ; 1] par

$f(x) = 2x\text{e}^{-x}.$

On admet que la fonction $f$ est dérivable sur l'intervalle [0 ; 1].

• 1.

  • a) Résoudre sur l'intervalle [0 ; 1] l'équation $f(x) = x$.

  • b) Démontrer que, pour tout $x$ appartenant à l'intervalle [0 ; 1],

    $f'(x) = 2(1 - x)\text{e}^{-x}.$

  • c) Donner le tableau de variations de la fonction $f$ sur l'intervalle [0 ; 1].

    On considère la suite $\left(u_n\right)$ définie par $u_0 = 0,1$ et pour tout entier naturel $n$,

    $u_{n+1} = f\left(u_n\right).$

• 2.

  • a) Démontrer par récurrence que, pour tout $n$ entier naturel,

    $0 \leqslant u_n < u_{n+1} \leqslant 1.$

  • b) En déduire que la suite $\left(u_n\right)$ est convergente.

• 3. Démontrer que la limite de la suite $\left(u_n\right)$ est $\ln (2)$.

• 4.

  • a) Justifier que pour tout entier naturel $n,\: \ln (2) - u_n$ est positif.

  • b) On souhaite écrire un script Python qui renvoie une valeur approchée de $\ln(2)$ par défaut à $10^{-4}$ près, ainsi que le nombre d'étapes pour y parvenir.

    Recopier et compléter le script ci-dessous afin qu'il réponde au problème posé.

    def seuil() :
         n = 0
         u = 0.1
         while ln (2) - u … 0.0001 :
              n=n+1
              u= …
         return (u, n)
    

  • c) Donner la valeur de la variable $n$ renvoyée par la fonction seuil ().