Exercice 4 — Vecteurs, droites et plans, Orthogonalité et produit scalaire

L'espace est muni d'un repère orthonormé $\left(O\,;\,\vec{\imath},\,\vec{\jmath},\,\vec{k}\right)$.

On considère :

• les points A$(-2 ; 0 ; 2)$,: B$(-1 ; 3 ; 0)$,: C$(1 ; -1 ; 2)$ et D(0 ; 0 ; 3).

• la droite $\mathcal{D}_1$ dont une représentation paramétrique est $\left\{\begin{array}{lcl} x&=&t \\ y &=& 3t \\ z &=& 3 + 5t \end{array}\right.$ avec $t \in \mathbb{R}$.

• la droite $\mathcal{D}_2$ dont une représentation paramétrique est $\left\{\begin{array}{lcl} x&=&1 + 3s \\ y &=& -1 - 5s \\ z &=& 2 - 6s \end{array}\right.$ avec $s \in \mathbb{R}$.

• 1. Démontrer que les points A, B et C ne sont pas alignés.

• 2.

  • a) Démontrer que le vecteur $\overrightarrow{n}\begin{pmatrix}1

    3

    5\end{pmatrix}$ est orthogonal au plan (ABC).

  • b) Justifier qu'une équation cartésienne du plan (ABC) est :

    $x + 3y + 5z - 8 = 0.$

  • c) En déduire que les points A, B, C et D ne sont pas coplanaires.

• 3.

  • a) Justifier que la droite $\mathcal{D}_1$ est la hauteur du tétraèdre ABCD issue de D.

    On admet que la droite $\mathcal{D}_2$ est la hauteur du tétraèdre ABCD issue de C.

  • b) Démontrer que les droites $\mathcal{D}_1$ et $\mathcal{D}_2$ sont sécantes et déterminer les coordonnées de leur point d'intersection.

• 4.

  • a) Déterminer les coordonnées du projeté orthogonal H du point D sur le plan (ABC).

  • b) Calculer la distance du point D au plan (ABC).

    Arrondir le résultat au centième.