Exercice 1 — Équations différentielles, Dérivation

Partie A

On considère l'équation différentielle

$(E)\: y' + 0,4y = \text{e}^{-0,4t}$

où $y$ est une fonction de la variable réelle $t$.

On cherche l'ensemble des fonctions définies et dérivables sur $\mathbb{R}$ qui sont solutions de cette équation.

• 1. Soit $u$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par : $u(t) = t\text{e}^{-0,4t}$.

  Vérifier que $u$ est solution de $(E)$.

• 2. Soit $f$ une fonction définie et dérivable sur $\mathbb{R}$.

  On note $g$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par : $g(t) = f(t) - u(t)$.

  Soit $(H)$ l'équation différentielle $y' + 0,4y = 0$.

  • a) Démontrer que si la fonction $g$ est solution de l'équation différentielle $(H)$ alors la fonction $f$ est solution de l'équation différentielle $(E)$.

  On admettra que la réciproque est vraie.

  • a) Résoudre l'équation différentielle $(H)$.

  • b) En déduire les solutions de $(E)$.

  • c) Déterminer la solution $f$ de $(E)$ telle que $f(0) = 1$.

Partie B

On s'intéresse à la glycémie chez une personne venant de prendre un repas.

La glycémie en g.L$^{-1}$, en fonction du temps $t$, exprimé en heure, écoulé depuis la fin du repas, est modélisée par la fonction $f$ définie sur [0 ; 6] par :

$f(t) = (t + 1)\text{e}^{-0,4t}.$

• 1.

  • a) Montrer que, pour tout $t \in [0 ; 6],\: f'(t) = (- 0,4t + 0,6)\text{e}^{-0,4t}$.

  • b) Étudier les variations de $f$ sur [0 ; 6] puis dresser son tableau de variations sur cet intervalle.

• 2. Une personne est en hypoglycémie lorsque sa glycémie est inférieure à 0,7 g.L$^{-1}$.

  • a) Démontrer que sur l'intervalle [0 ; 6] l'équation $f(t) = 0,7$ admet une unique solution que l'on notera $\alpha$.

  • b) Au bout de combien de temps après avoir pris son repas cette personne est- elle en hypoglycémie ?

    On exprimera ce temps à la minute près.

• 3. On souhaite déterminer la glycémie moyenne en g.L$^{-1}$ chez cette personne lors des six heures qui suivent le repas.

  • a) À l'aide d'une intégration par parties, montrer que:

    $\displaystyle\int_0^6 f(t)\: \text{d}t = - 23,75\text{e}^{-2,4} + 8,75.$

  • b) Calculer la glycémie moyenne en g.L$^{-1}$ chez cette personne lors des six heures qui suivent le repas.

  • c) En remarquant que la fonction $f$ est solution de l'équation différentielle $(E)$, expliquer comment on aurait pu obtenir ce résultat autrement.