Exercice 2 — Probabilités conditionnelles et arbres, Variables aléatoires et sommes

Un hôtel situé à proximité d'un site touristique dédié à la préhistoire propose deux visites dans les environs, celle d'un musée et celle d'une grotte.

Une étude a montré que 70 % des clients de l'hôtel visitent le musée. De plus, parmi les clients visitant le musée, 60 % visitent la grotte.

Cette étude montre aussi que 6 % des clients de l'hôtel ne font aucune visite.

On interroge au hasard un client de l'hôtel et on note :

• $M$ l'évènement : « le client visite le musée » ;
• $G$ l'évènement : « le client visite la grotte ».

On note $\overline{M}$ l'évènement contraire de $M$,: $\overline{G}$ l'évènement contraire de $G$, et pour tout évènement $E$, on note $p(E)$ la probabilité de $E$.

Ainsi, d'après l'énoncé, on a : $p\left(\overline{M} \cap \overline{G}\right) = 0,06$.

• 1.

  • a) Vérifier que $p_{\overline{M}}\left(\overline{G}\right) = 0,2$, où $p_{\overline{M}}\left(\overline{G}\right)$ désigne la probabilité que le client interrogé ne visite pas la grotte sachant qu'il ne visite pas le musée.

  • b) L'arbre pondéré ci-contre modélise la situation. Recopier et compléter cet arbre en indiquant sur chaque branche la probabilité associée.

  • c) Quelle est la probabilité de l'évènement « le client visite la grotte et ne visite pas le musée » ?

  • d) Montrer que $p(G) = 0,66$.

(Figure : voir le sujet PDF.)

• 1. Le responsable de l'hôtel affirme que parmi les clients qui visitent la grotte, plus de la moitié visitent également le musée. Cette affirmation est-elle exacte ?

• 2. Les tarifs pour les visites sont les suivants:

  • visite du musée : 12 euros;
  • visite de la grotte : 5 euros.

  On considère la variable aléatoire $T$ qui modélise la somme dépensée par un client de l'hôtel pour ces visites.

  • a) Donner la loi de probabilité de $T$. On présentera les résultats sous la forme d'un tableau.

  • b) Calculer l'espérance mathématique de $T$.

  • c) Pour des questions de rentabilité, le responsable de l'hôtel estime que le montant moyen des recettes des visites doit être supérieur à $700$ euros par jour.

    Déterminer le nombre moyen de clients par journée permettant d'atteindre cet objectif.

• 3. Pour augmenter les recettes, le responsable souhaite que l'espérance de la variable aléatoire modélisant la somme dépensée par un client de l'hôtel pour ces visites passe à 15 euros, sans modifier le prix de visite du musée qui demeure à $12$ euros.

  Quel prix faut-il fixer pour la visite de la grotte afin d'atteindre cet objectif ? (On admettra que l'augmentation du prix d'entrée de la grotte ne modifie pas la fréquentation des deux sites).

• 4. On choisit au hasard $100$ clients de l'hôtel, en assimilant ce choix à un tirage avec remise.

  Quelle est la probabilité qu'au moins les trois quarts de ces clients aient visité la grotte à l'occasion de leur séjour à l'hôtel ?

  On donnera une valeur du résultat à $10^{-3}$ près.