Exercice 1 — Probabilités conditionnelles et arbres, Loi binomiale

Une entreprise appelle des personnes par téléphone pour leur vendre un produit.

• L'entreprise appelle chaque personne une première fois:

• la probabilité que la personne ne décroche pas est égale à 0,6 ;

• si la personne décroche, la probabilité qu'elle achète le produit est égale à 0,3.

• Si la personne n'a pas décroché au premier appel, on procède à un second appel:

• la probabilité que la personne ne décroche pas est égale à $0,3$ ;

• si la personne décroche, la probabilité qu'elle achète le produit est égale à 0,2.

• Si une personne ne décroche pas au second appel, on cesse de la contacter.

On choisit une personne au hasard et on considère les évènements suivants :

• $D_1$ : « la personne décroche au premier appel » ;
• $D_2$ : « la personne décroche au deuxième appel » ;
• $A$ : « la personne achète le produit ».

Les deux parties peuvent être traitées de manière indépendante

Partie A

• 1. Recopier et compléter l'arbre pondéré ci-contre.

• 2. En utilisant l'arbre pondéré, montrer que la probabilité de l'évènement $A$ est

  $P(A) = 0,204$.

• 3. On sait que la personne a acheté le produit.

  Quelle est la probabilité qu'elle ait décroché au premier appel ?

(Figure : voir le sujet PDF.)

Partie B

On rappelle que, pour une personne donnée, la probabilité qu'elle achète le produit est égale à $0,204$.

• 1. On considère un échantillon aléatoire de $30$ personnes.

  On note $X$ la variable aléatoire qui donne le nombre de personnes de l'échantillon qui achètent le produit.

  • a) On admet que X suit une loi binomiale. Donner, sans justifier, ses paramètres.

  • b) Déterminer la probabilité qu'exactement 6 personnes de l'échantillon achètent le produit. Arrondir le résultat au millième.

  • c) Calculer l'espérance de la variable aléatoire $X$.

  Interpréter le résultat.

• 2. Soit $n$ un entier naturel non nul.

  On considère désormais un échantillon de $n$ personnes.

  Déterminer la plus petite valeur de $n$ telle que la probabilité qu'au moins l'une des personnes de l'échantillon achète le produit soit supérieure ou égale à $0,99$.