Exercice 3 — Suites et récurrence, Limites de suites

On considère la suite $\left(u_n\right)$ définie par $u_0 = 3$ et, pour tout entier naturel $n$,

$u_{n+1} = \dfrac12u_n + \dfrac12n + 1.$

Partie A

*Cette partie est un questionnaire à choix multiples.

Pour chacune des questions suivantes, une seule des quatre réponses proposées est exacte.

Pour répondre, indiquer sur la copie le numéro de la question et la lettre de la réponse choisie.

Aucune justification n'est demandée.

Une réponse fausse, une absence de réponse, ou une réponse multiple, ne rapporte ni n'enlève de point.*

• 1. La valeur de $u_2$ est égale à :

  (Tableau : voir le sujet PDF.)

• 2. La suite $\left(v_n\right)$ définie, pour tout entier naturel $n$, par $v_n = u_n - n$ est :

  (Tableau : voir le sujet PDF.)

• 3. On considère la fonction ci-dessous, écrite de manière incomplète en langage Python.

  $n$ désigne un entier naturel non nul.

  On rappelle qu'en langage Python « i in range (n) » signifie que i varie de 0 à $n-1$.

  1&def terme (n)
  2&     U=3
  3&     for i in range(n):
  4& …
  5&     return U
  

  Pour que terme (n) renvoie la valeur de $u_n$, on peut compléter la ligne 4 par :

  (Tableau : voir le sujet PDF.)

Partie B

• 1. Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel $n$ :

  $n \leqslant u_n \leqslant n + 3.$

• 2. En déduire la limite de la suite $\left(u_n\right)$.

• 3. Déterminer la limite de la suite $\left(\dfrac{u_n}{n}\right)$.