Exercice 2 — Logarithme népérien, Dérivation

On considère la fonction $f$ définie sur $]0 ; +\infty[$ par: $f(x) = 3x + 1 - 2x \ln (x)$.On admet que la fonction $f$ est deux fois dérivable sur $]0 ; +\infty[$.

On note $f'$ sa dérivée et $f''$ sa dérivée seconde.

On note $\mathcal{C}_f$ sa courbe représentative dans un repère du plan.

• 1. Déterminer la limite de la fonction $f$ en 0 et en $+\infty$.

• 2.

  • a) Démontrer que pour tout réel $x$ strictement positif : $f'(x) = 1- 2\ln (x)$.

  • b) Étudier le signe de $f'$ et dresser le tableau de variation de la fonction $f$ sur l'intervalle $]0 ; +\infty[$.

    On fera figurer dans ce tableau les limites ainsi que la valeur exacte de l'extremum.

• 3.

  • a) Démontrer que l'équation $f(x) = 0$ admet une unique solution sur $]0 ; +\infty[$. On notera $\alpha$ cette solution.

  • b) En déduire le signe de la fonction $f$ sur $]0 ; +\infty[$.

• 4. On considère une primitive quelconque de la fonction $f$ sur l'intervalle $]0 ; +\infty[$. On la note $F$.

  Peut-on affirmer que la fonction $F$ est strictement décroissante sur l'intervalle $\left[\text{e}^{\frac12} ; + \infty\right[$ ? Justifier.

• 5.

  • a) Étudier la convexité de la fonction $f$ sur $]0 ; +\infty[$.

    Quelle est la position de la courbe $\mathcal{C}_f$ par rapport à ses tangentes ?

  • b) Déterminer une équation de la tangente $T$ à la courbe $\mathcal{C}_f$ au point d'abscisse 1.

  • c) Déduire des questions 5. a et 5 .b que pour tout réel $x$ strictement positif:

    $\ln (x) \geqslant 1 - \dfrac 1x.$

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