Exercice 4 — Vecteurs, droites et plans, Orthogonalité et produit scalaire

On considère le cube ABCDEFGH ci-dessous tel que AB $= 1$.

On note M le centre de la face BCGF et N le centre de la face EFGH.

(Figure : voir le sujet PDF.)

(Figure : voir le sujet PDF.)

On se place dans le repère orthonormé $\left(\text{D} ;  \overrightarrow{\text{DH}}, \overrightarrow{\text{DC}}, \overrightarrow{\text{DA}}\right)$.

• 1. Donner sans justifier les coordonnées des points F et C.

• 2. Calculer les coordonnées des points M et N.

• 3.

  • a) Démontrer que le vecteur $\overrightarrow{\text{AG}}$ est normal au plan (HFC).

  • b) En déduire une équation cartésienne du plan (HFC).

• 4. Déterminer une représentation paramétrique de la droite (AG).

• 5. Démontrer que le point R de coordonnées $\left(\dfrac23 ; \dfrac23; \dfrac13\right)$ est le projeté orthogonal du point G sur le plan (HFC).

• 6. On admet qu'une représentation paramétrique de la droite (FG) est:

  x&=&1 \\

y&=&1 \ z&=&t \end{array}\right.::(t \in \mathbb{R}).$$

Démontrer qu'il existe un unique point K sur la droite (FG) tel que le triangle KMN soit rectangle en K.

• 7. Quelle fraction du volume du cube ABCDEFGH le volume du tétraèdre FNKM représente-t-il ?