Exercice 1 — Probabilités conditionnelles et arbres, Loi binomiale

Un commerçant vend deux types de matelas: matelas RESSORTS et matelas MOUSSE.

On suppose que chaque client achète un seul matelas.

On dispose des informations suivantes :

• 20 % des clients achètent un matelas RESSORTS.

Parmi eux, 90 % sont satisfaits de leur achat.

• 82 % des clients sont satisfaits de leur achat.

Les deux parties peuvent être traitées de manière indépendante.

Partie A

On choisit au hasard un client et on note les évènements :

• $R$ : « le client achète un matelas RESSORTS »,
• $S$ : « le client est satisfait de son achat ».

On note $x = P_{\overline{R}}(S)$, où $P_{\overline{R}}(S)$ désigne la probabilité de $S$ sachant que $R$ n'est pas réalisé.

• 1. Recopier et compléter l'arbre pondéré ci-contre décrivant la situation.

• 2. Démontrer que $x = 0,8$.

• 3. On choisit un client satisfait de son achat.

  Quelle est la probabilité qu'il ait acheté un matelas RESSORTS ?

  On arrondira le résultat à $10^{-2}$.

(Figure : voir le sujet PDF.)

Partie B

• 1. On choisit 5 clients au hasard.

  On considère la variable aléatoire $X$ qui donne le nombre de clients satisfaits de leur achat parmi ces 5 clients.

  • a) On admet que $X$ suit une loi binomiale. Donner ses paramètres.

  • b) Déterminer la probabilité qu'au plus trois clients soient satisfaits de leur achat.

    On arrondira le résultat à $10^{-3}$.

• 2. Soit $n$ un entier naturel non nul.

  On choisit à présent $n$ clients au hasard. Ce choix peut être assimilé à un tirage au sort avec remise.

  • a) On note $p_n$ la probabilité que les $n$ clients soient tous satisfaits de leur achat.

    Démontrer que $p_n = 0,82^n$.

  • b) Déterminer les entiers naturels $n$ tels que $p_n < 0,01$.

    Interpréter dans le contexte de l'exercice.