Exercice 3 — Représentations paramétriques et équations cartésiennes, Orthogonalité et produit scalaire

On se place dans l'espace rapporté à un repère orthonormé $\left(O\,;\,\vec{\imath},\,\vec{\jmath},\,\vec{k}\right)$.

On considère le point A(1 ; 1 ; 0) et le vecteur $\overrightarrow{u}\begin{pmatrix}0

2

• 1\end{pmatrix}$.

On considère le plan $\mathcal{P}$ d'équation : $x + 4y + 2z + 1 = 0$.

• 1. On note $(d)$ la droite passant par A et dirigée par le vecteur $\overrightarrow{u}$.

  Déterminer une représentation paramétrique de $(d)$.

• 2. Justifier que la droite $(d)$ et le plan $\mathcal{P}$ sont sécants en un point B dont les coordonnées sont (1 ; -1 ; 1).

• 3. On considère le point C$(1 ; -1 ; -1)$.

  • a) Vérifier que les points A, B et C définissent bien un plan.

  • b) Montrer que le vecteur $\overrightarrow{n}\begin{pmatrix}1

    0

    0\end{pmatrix}$ est un vecteur normal au plan (ABC).

  • c) Déterminer une équation cartésienne du plan (ABC).

• 4.

  • a) Justifier que le triangle ABC est isocèle en A.

  • b) Soit H le milieu du segment [BC].

    Calculer la longueur AH puis l'aire du triangle ABC.

• 5. Soit D le point de coordonnées $(0 ; -1 ; 1)$.

  • a) Montrer que la droite (BD) est une hauteur de la pyramide ABCD.

  • b) Déduire des questions précédentes le volume de la pyramide ABCD.

  On rappelle que le volume $V$ d'une pyramide est donné par:

  $V = \dfrac13 \mathcal{B} \times h,$

  où $\mathcal{B}$ est l'aire d'une base et $h$ la hauteur correspondante.